Оказательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Пример 7.1. Представить в показательной форме комплексные числа: , , , .

9.1. , ,

9.2. , ,

9.3. , ,

9.4. , ,

Пример1. . Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:

Решение.

1. Правило Крамера.

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

. Теперь уравнение можно интегрировать: . Находим неопределенные интегралы: , откуда: - это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение при условии .

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: , где и - неизвестные функции. Получаем: или . Неизвестную функцию найдем из условия : , , откуда . Тогда для нахождения второй неизвестной функции нужно решить уравнение: , откуда: . Тогда и путем интегрирования последнего равенства получаем . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: . Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных и в общее решение, получаем: , откуда . Тогда частное решение данной задачи имеет вид: . Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение: у² +2 у^' +5 у = 0.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: . Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: . Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: . Ответ: .

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим и . Тогда: , следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.

Пример 7. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n.

Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.

Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

В результате получаем, что Р(т) = 43, значит, Р(А) = 43/216.

Ответ: Р(А) = 43/216.

Пример 8. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.

Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: . По условию задачи , .

а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: .

б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:

В₁: два билета из шести будут выигрышными;

В₂: три билета из шести будут выигрышными;

В₃: четыре билета из шести будут выигрышными.

Тогда В= В₁+В₂+В₃ и Р(В) = Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃).

Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:

,

,

.

Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011

Ответ: P(B)=0,3011.

Пример 9. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины х_i , а во второй строке – численность каждой группы значений m:

х i	21	17	35	11
m i	3	11	14	5

Найти объем выборки ; относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение. Найдем объем выборки n по формуле: , где – число столбцов в таблице. Тогда n =3+11+14+5=33.

Относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины, находим по формулам: . Получаем: , , , .

Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:

х i
	1/11	1/3	14/33	5/33

Находим числовые характеристики выборки:

а) среднее арифметическое находим по формуле:

б) выборочная дисперсия находится по формуле: .

Получаем:

в) среднеквадратическое отклонение: .