Производная по направлению
В п. 5.9 были даны определения скалярного поля и способ его геометрического изображения. Выясним, какими характеристиками обладает такое поле.
Рассмотрим трехмерное скалярное поле и построим величину, которая характеризует скорость изменения этого поля в некоторой точке
в направлении вектора
.
Пусть функция является дифференцируемой в области
. Проведем из точки
вектор
и возьмем на нем какую-нибудь точку
. Построим на отрезке
как на диагонали параллелепипед, ребра которого параллельны осям прямоугольной декартовой системы координат (рис. 5.10.1). Угол с осью
обозначим
, с осью
–
, с осью
–
.
Рис. 5.10.1
Составим разность , которая характеризует изменение скалярного поля при переходе из точки
в точку
. Эту разность разделим на расстояние между точками
и
:
. С точки зрения физики данная величина характеризует среднюю скорость изменения скалярного поля на отрезке
.
Устремим теперь точку к
так, чтобы точка
постоянно оставалась на векторе
и при этом
.
Определение. Если существует предел отношения приращения скалярного поля в точке
в направлении вектора
к длине отрезка
, когда
, то этот предел называется производной скалярного поля в точке
в направлении
и обозначается:
.
Очевидно, что производная скалярного поля по направлению равна скорости изменения скалярного поля
в направлении
. Если
, то поле в данном направлении возрастает, если
– убывает.
Найдем правило для вычисления производной по направлению. В нашем случае
Поскольку три последних слагаемых в полученном выражении бесконечно малые величины, то их сумма также является бесконечно малой величиной . Кроме того, выразим
,
и
через величину отрезка
. Таким образом,
.
Разделив полное приращение скалярного поля на длину отрезка , получим:
.
Перейдем к пределу в полученном выражении:
.
Итак,
,
то есть для вычисления производной по направлению необходимо знать значения частных производных в точке и направляющие косинусы вектора, по направлению которого вычисляется производная.
В частности, если , то
, если
, то
, если
, то
. Следовательно, частные производные функции
– это производные скалярного поля
в направлении соответствующих ортов.
В плоском случае .
Градиент
Пусть в некоторой трехмерной области задано скалярное поле
, которое дифференцируемо во всех его точках.
Определение 5.11.1. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор
.
Из определения 5.11.1 следует, что каждой точке скалярного поля соответствует не только значение функции, но и вполне определенный вектор . Между градиентом функции
в некоторой точке и производной по выбранному направлению в этой же точке существует определенная связь.
Теорема. Проекция градиента скалярного поля в точке
на направление орта
равна производной этого поля в точке
по направлению орта
.
Доказательство. Как известно, координаты единичного вектора в прямоугольной декартовой системе координат равны направляющим косинусам этого вектора, то есть
. Найдем проекцию вектора
на орт
(п. 7):
что и требовалось доказать.
Вычислим теперь или, что то же самое,
, воспользовавшись другим способом вычисления скалярного произведения:
, (5.11.1)
где – угол между направлением орта
и вектора
. Анализ выражения (5.11.1) показывает, что наибольшее значение производная по направлению будет иметь тогда, когда
, то есть
. Таким образом, производная по направлению максимальна, когда это направление совпадает с вектором
.
Определение 5.11.2. – есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.
Выяснив физический смысл градиента, определим ориентацию вектора в скалярном поле. Как было сказано в п. 5.9, если скалярное поле имеет вид
, то его геометрическим образом будет поверхность уровня
. Нормаль к данной поверхности в точке
имеет уравнение (п. 5.8):
.
Направляющий вектор этой нормали равен . Но эти же компоненты имеет и вектор
, следовательно, он направлен нормально к поверхности уровня скалярного поля.
В плоском случае , и он ориентирован нормально к линиям уровня.
Для обозначения градиента скалярного поля часто используют векторный дифференциальный оператор , который называется оператором Гамильтона или оператором набла. Формально умножив вектор набла на скалярное поле
, получим равенство
или
.
Следует иметь в виду свойства градиента, которые часто облегчают его вычисление:
1) ;
2) , где
– константа;
3) ;
4) .