Сфера, вписанная в цилиндр, конус и усеченный конус

Определение. Сфера называется вписанной в цилиндр, конус, усеченный конус, если каждая образующая цилиндра, конуса, усеченного конуса является касательной к сфере, а каждая плоскость основания цилиндра, конуса, усеченного конуса касается сферы в точке, лежащей внутри основания.

В этом случае говорят, что цилиндр, конус, усеченный конус описаны около сферы.

Теорема 1. Существует сфера, вписанная в конус.

Нам нужно доказать, что в конус можно вписать сферу. Так как нам известно, что конус симметричен относительно любого сечения, проходящего через его высоту, то мы, если докажем, что в любое такое сечение можно вписать окружность (центр у всех окружностей один и тот же), то докажем, что в конус можно вписать сферу.

Рассмотрим сечение конуса, проходящее через высоту конуса.

Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием ВС. Высота ОА будет являться также и биссектрисой. Следовательно центр вписанной окружности О₁ будет находиться на ОА (вписать окружность можно, как известно, в любой треугольник). А так как все остальные рассматриваемые сечения будут равны АВС, то следовательно, и центры вписанных окружностей будут совпадать. Значит в конус можно вписать сферу с центром О₁ и радиусом ОО₁.

Теорема 2.В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру оснований.

Здесь рассматриваются сечения, которые будут являться прямоугольниками. Окружность можно вписать только в квадрат, отсюда и вытекает условие, что высота равна диаметру основания.

Теорема 3. В усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его образующая равна сумме радиусов оснований.

Ключевые задачи.

Задача 1. Имеются два одинаковых шара с радиусом R, которые касаются друг друга внешним образом и плоскости. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Так как эти шары касаются друг друга, то существует плоскость, которой они касаются в точке К. Эта плоскость будет перпендикулярна первой плоскости. Следовательно, углы АО₁К и КО₂В прямые, и значит АВО₂О₁ – прямоугольник. Следовательно, АВ=2R.

Задача 2. На плоскости лежат два шара с радиусами R₁ и R₂, которые касаются внешним образом. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Точки А и В – точки касания шаров и плоскости. Опустим перпендикуляр О₂К на АО₁. КО₁= АО₁-КА. Если учесть, что КА=О₂В=R₂, а О₁О₂=R₁₊R₂ то по теореме Пифагора . А так как КАВО₂ – прямоугольник, то КА=АВ, Следовательно