ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №9

Рисунок 36- Расчетная схема сжатого стержня и его поперечное сечение

Стальной стержень длиной l =2,8 м заданной формы попе­речного сечения сжимается силой Р = 411кН(рисунок 36).

Требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня (расчет производить методом последовательных прибли­жений по коэффициенту );

2) найти величину критической силы Р_кр и вычислить запас устой­чивости стержня n_у. Материал стержня сталь Ст.3; допускаемое напряжение на сжа­тие [s]_с=160 МПа.

1. Определение геометрических характеристик сечения стержня через искомый размер сечения a:

площадь сечения

размер a

Главные центральные моменты инерции

Минимальный момент инерции

Минимальный радиус инерции

Для заданного варианта закрепления по табл. 10 выбирается коэф­фи­ци­ент приведения длины m = 0,7.

Гибкость стержня

2.Подбор поперечного сечения стержня.

Из условия устойчивости площадь поперечного сечения

Как указывалось выше, в условии устойчивости неизвестными вели­чинами являются j и F, которые можно найти методом последовательных приближений, для чего за­да­ется одна из неизвестных величин - .

Для первого приближения примем j₁ = 0,5.

Тогда соответствующая площадь поперечного сечения стержня

Находим параметр а:

Проверяем, соответствует ли допускаемая нагрузка для подобранного сечения заданной силе.

Гибкость стержня при

По табл. 11 следует найти соответствующий коэффициент . Значения l = 102 в таблице нет, поэтому искомое значения коэффициента j оп­ре­деляется линей­ной интерполяцией:

при l = 100 j₁₀₀ = 0,60;

при l = 110 j₁₁₀ = 0,5;

Соответствующая допускаемая сила

,

Расхождение между заданной силой и полученной

Подобранное сечение не удовлетворяет условию устойчивости, так как до­пускаемое расхождение между силами заданной и полученной расчетным пу­тем не должно превышать 5 %.

Вычисления повторяются еще раз.

Второе приближение: новое значение коэффициента j₂ определяется по выражению:

Все вычисления, выполненные при первом приближении, повторяются, но при новом значении j = j₂:

Расхождение между силами составляет менее 5 %, что приемлемо. Тогда искомый размер

3.Определение критической силы.

Для подобранного сечения расчетная гибкость стержня

Предельная гибкость для стали марки Ст. 3 равна100, поэтому критическую силу следует вычислять по формуле Эйлера, так как l>l_пр .

Минимальный момент инерции принятого сечения стержня

Критическая сила

Запас устойчивости сжатого стержня:

Приложения

Приложение 1   Таблица 1 -Сталь прокатная угловая равнополочная ГОСТ 8509-72

Продолжение табл. 1.

Окончание табл. 1.

Приложение 2.     Таблица 2 -Сталь прокатная угловая неравнополочная ГОСТ 8510-72

Окончание табл. 2.

Приложение 3   Таблица 3 - Сталь горячекатаная. Балки двутавровые ГОСТ 8239-72

Приложение 4   Таблица 4 - Сталь горячекатаная. Швеллеры с уклоном внутренних граней полок ГОСТ 8240-72.

Литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. - М: Высш. шк., 2001.

2. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1989.

3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1958.

4. Ицкович Г.М. и др. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. - М: Высш. шк., 1970.

5. Миролюбов И.Н. и др. Сопротивление материалов: Пособие по решению задач. – СПб.: Лань, 2004

6. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластично­
сти. - М.: Высш. шк., 2000.

7. Сборник задач по сопротивлению материалов/ Под ред. А.В.Александрова. -М.: Стройиздат, 1977.

8. Сопротивление материалов / А.Ф.Смирнов, А.В.Александров и др. /: Под
ред. А.Ф.Смирнова. - М.: Высш. шк., 3-е и посл. изд.

9. Феодосьев В.В. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1989.

10.Терегулов И.С. Сопротивление материалов и основы теории упругости и
пластичности. -М.: Высш. шк., 1984.

*) При рассмотрении полукруга, главная центральная ось инерции которого z₂, использованы приближенные значения