Методические указания к заданию по курсу ТОЭ ч.2

Расчет переходных процессов в электрических цепях.

Постановка задачи

1.1. Выполнение задания по расчету переходных процессов следует начинать с выбора схем и исходных данных к ним по коду варианта: KLMNP.QRST.

рис. 1

По коду варианта (например, для кода II1234.0111) вычертить две схемы: для линейной и нелинейной цепей.

На рис. 1 приведен граф цепи, соответствующий коду варианта.

На рис. 2 приведена схема линейной цепи.

На рис. 3 приведена схема нелинейной цепи.

Параметры линейной цепи в соответствии с кодом варианта:

а) для цепи с постоянными источниками:

б) для цепи с синусоидальными источниками:

рис. 2	рис. 3

Параметры нелинейной цепи в соответствии с кодом варианта:

а) для цепи с постоянными источниками:

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) НЭА

uA, В
iA, А		0,3	0,5

Вебер-амперная характеристика (ВАХ) нелинейной индуктивности

ψ, Вб		0,126	0,18	0,204	0,24	0,264	0,278	0,288	0,3
iL, А		0,2	0,3	0,5

Кулон-вольтная характеристика (КВХ) нелинейной емкости

q·103, Кл		0,6	0,94	1,34	1,64	1,82	1,92
uC, В

б) для схемы с синусоидальными источниками:

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) НЭА

uA, В
iA, А		0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0

Вебер-амперная характеристика (ВАХ) нелинейной индуктивности

ψ, Вб		0,126	0,18	0,204	0,24	0,264	0,278	0,288	0,3
iL, А		0,2	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0

Кулон-вольтная характеристика (КВХ) нелинейной емкости

q·103, Кл		0,6	0,94	1,34	1,64	1,82	1,92	2,0
uC, В

1.2. Уравнения Кирхгофа для линейной цепи после коммутации (рис. 2)

Уравнения связи:

;

В качестве неизвестных выступают: i₁(t), i_L(t), i_C(t), i₅(t), i₆(t)

1.3. Уравнения гибридного метода для нелинейной цепи после коммутации (рис. 3). Гибридные уравнения получаются из уравнений Кирхгофа, в которых уравнения для независимых контуров разбиваются на части. Каждая часть устанавливает связь между потенциалами узлов схемы, включая и простые узлы (на рис. 3 узлы … и † – простые узлы), и токами в ветвях. Таким образом в системе гибридных уравнений в качестве неизвестных выступают не только токи в ветвях, но и потенциалы всех узлов цепи (в том числе и простых узлов). Такое усложнение (увеличение числа неизвестных оказывается оправданным при расчетах нелинейных цепей, или реализации итерационных (численных) методов расчета.

Для схемы рис. 3 гибридные уравнения принимают вид:

В гибридных уравнениях в качестве неизвестных выступают:

i₁(t), i_L(t), i_C(t), i₅(t), i_A(t), φ₂(t), φ₃(t), φ₄(t), φ₅(t), φ₆(t), u_C(t), u_A(t), u_L(t).

Расчет переходных процессов в линейной цепи постоянного тока.

Для линейной цепи (рис. 2) необходимо рассчитать по заданию ток в индуктивности L, напряжение на емкости C и ток в ветви, не содержащей реактивных элементов в схеме после коммутации. Расчет должен быть произведен классическим и операторным методами.

Классический метод

Расчет переходного процесса классическим методом можно проводить по нижеследующему алгоритму:

1. Нарисовать схему после коммутации (рис. 4), указать на ней направления токов в ветвях и составить систему уравнений Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Как известно, после коммутации в цепи токи и напряжения изменяются во времени.

рис. 4

В схеме рис. 4 три независимых узла , ‚ и ƒ, пять неизвестных токов в ветвях i₁, i₂, i_С, i₅, i₆, поэтому необходимо составить 5 уравнений Кирхгофа: из них по 1 закону Кирхгофа три уравнения, по 2 закону Кирхгофа () два уравнения ( – число неизвестных токов в схеме.

Уравнения Кирхгофа для схемы рис. 4:

(1)

2. Составить выражение для характеристического уравнения и найти его корни.

Как известно из теории, в линейной электрической цепи количество реактивных элементов схемы определяет порядок дифференциального уравнения для расчета переходного процесса (для «корректных» задач).

Следовательно, для данной цепи дифференциальное уравнение будет 2 порядка. Решение его определяется видом корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение может быть получено одним из трех способов.

Способ первый:

Свести систему уравнений Кирхгофа (1) к одному уравнению с одним неизвестным. В качестве такого неизвестного можно брать любой из трех токов или любое напряжение в схеме после коммутации. При этом следует учесть, что ; . В данном случае сведение системы пяти уравнений к уравнению с одним неизвестным представляется нецелесообразным из-за громоздкости решения.

Данный способ можно использовать для схем, описываемым одним или двумя уравнениями Кирхгофа.

Способ второй – матричный:

При таком способе исходная система уравнений Кирхгофа (1) записывается только для свободных составляющих переходных токов и напряжений, что соответствует свободному режиму, то есть режиму, когда источники схемы после коммутации исключаются из схемы (гасятся). В системе (1) при этом правая часть будет нулевая.

или с учетом ,

(4)

Из системы (4) составляется матрица коэффициентов при токах i_5св, i_6св, i_1св, i_Lсв, i_Cсв. При этом учитывают, что коэффициентом при токе входящем в производную, является p , а коэффициентом при токе под интегралом является . Тогда матрица коэффициентов имеет вид

Определитель этой матрицы, приравненный к нулю и является характеристическим уравнением. Раскрыть определитель с рангом, равным 5 также является трудоемкой задачей. Данный способ можно использовать при получении характеристического уравнения в схемах с количеством уравнений Кирхгофа, не превышающих трех.

Способ третий:

Составляется выражение для входного комплексного сопротивления схемы после коммутации при погашенных источниках относительно точек разрыва в любой ветви этой схемы (рис. 5).

рис. 5

В этом выражении

,

Далее сомножители jω в комплексных сопротивлениях реактивных элементов заменяются на параметр «p» и полученное выражение приравнивается к нулю

(5)

Выражение (5) является характеристическим уравнением. После алгебраических преобразований

,

где , , ,

Полученное выражение представим в виде: , где

,

Для конкретных числовых данных:

,

Корни характеристического уравнения:

,

где – коэффициент затухания

– частота свободных колебаний

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные.

3. По виду корней характеристического уравнения записывается общий вид решения дифференциального уравнения.

Вид решения зависит от вида корней характеристического уравнения:

а) если корни вещественные

,

б) если корни комплексные

,

Надо отметить, что если источники в схеме постоянные (не зависят от времени), то и значения токов и напряжений в установившемся режиме тоже будут постоянными

,

4. Рассчитывается установившийся режим в схеме после коммутации.

Расчет установившегося режима в схеме после коммутации можно проводить по уравнениям Кирхгофа из п.1, записав их для момента времени .

В установившемся режиме постоянного тока: , . Тогда уравнения системы (1) примут вид

С учетом числовых значений исходных данных результаты расчета установившегося режима:

; ; ; .

5. Определяются независимые начальные условия (ННУ)

К ННУ, как известно, относятся токи в индуктивностях i_L(0) и напряжения на емкостях u_C(0).

Находятся эти ННУ в соответствии с законами коммутации:

,

Аргумент «0^–» означает докоммутационный момент коммутации. Теоретически, считая коммутирующий ключ идеальным, этот момент совпадает с , практически же – это нулевой момент, предшествующий коммутации. Поэтому для расчета ННУ необходимо рассчитать установившийся режим в схеме до коммутации (рис. 6)

рис. 6

В схеме рис. 6 был установившийся режим постоянного тока, поэтому ток в емкости был равен нулю (поэтому ветвь с емкостью изображена пунктиром), и напряжение на индуктивности тоже равно 0 (поэтому элемент индуктивности изображен в виде «закоротки»).

Следует внимательно следить за выбором стрелок тока i_L(0^–) и напряжения u_C(0^–) в схеме рис. 6. Направление этих стрелок в элементах L и C должно совпадать с направлением стрелок в схеме после коммутации (рис. 4).

Уравнения по законам Кирхгофа для схемы рис. 6 имеют вид:

Узел : ,

Узел ƒ: ,

Узел „: ,

Контур I: ,

Контур II:

Решение полученной системы с учетом числовых значений исходных данных и с учетом дает:

; ; ; ; ,

Для нахождения u_C(0^–) составляется уравнение по 2 закону Кирхгофа для контура , ‚, ƒ

→

С учетом числовых исходных данных ННУ: ; .

6. Определяются зависимые начальные условия (ЗНУ).

Как известно, к ЗНУ относятся все остальные токи, напряжения и их производные по времени в схеме после коммутации, записанные для момента коммутации . Среди множества ЗНУ данной цепи нас будут интересовать только значения и , то есть ЗНУ именно для тех неизвестных, решение которых ищется по условию задания.

Для их определения следует систему уравнений (1) из п.1 записать для момента времени и решить ее. При этом необходимо использовать результаты расчета ННУ п. 5.

(5)

В этой алгебраической системе (5) уже известны (из п. 5)

,

С учетом числовых исходных данных решение системы (5) дает следующие результаты:

;

;

;

;

.

Значения производных и можно найти из известных уравнений связи тока и напряжения на реактивных элементах L и C.

, ,

откуда

, .

Численные значения ЗНУ равны:

,

7. Находятся постоянные интегрирования (A₁, A₂, B₁, B₂)

Постоянные интегрирования дифференциальных уравнений для тока i_L(t) и напряжения u_C(t) можно найти, используя начальные условия (ННУ и ЗНУ)

Для этого общий вид решения из п. 3 и его производную по времени следует записать при :

Решение этих уравнений дает

A1 = –4,474	B1 = –474,2
A2 = 14	B2 = –1103,3

8. Записываются окончательные выражения для i_L(t), u_C(t)

9. Рассчитывается ток i_R(t) = i₅(t) в цепи, не содержащей реактивных элементов.

Этот расчет следует проводить на основании законов Кирхгофа для послекоммутационной схемы. При этом считаются уже известными i_L(t) и u_C(t). Из второго уравнения системы (1)

Графики рассчитанных i_L(t), u_C(t) и i₅(t) приведены на рис. 7, 8.

10. По результатам расчета построить графики i_L(t), u_C(t), i_R(t)

Рекомендуется построение графиков провести, используя графический редактор пакета MathCAD. В этом случае следует приложить распечатку графиков к заданию.

рис. 7

рис. 8

Операторный метод

Расчет переходного процесса операторным методом следует начинать с составления операторной схемы после коммутации (рис. 9). При этом надо учесть, что в операторной схеме изображение по Лапласу постоянных источников имеет вид:

,

Операторные сопротивления реактивных элементов в схеме:

,

В операторной схеме появляются дополнительные источники ЭДС:

,

Они включаются последовательно с операторными сопротивлениями Z_L(p) и Z_C(p). Направления стрелок этих источников: стрелка источника e_L совпадает со стрелкой изображения тока в индуктивности I_L(p), стрелка источника e_C противоположна стрелке изображения тока в емкости I_C(p).

Направление стрелок изображений токов в ветвях операторной схемы должны совпадать со стрелками токов-оригиналов, выбранных в послекоммутационной схеме при классическом методе расчета.

Числовые значения дополнительных источников e_L и e_C могут быть взяты из расчета классическим методом (i_L(0), u_C(0)).

; .

рис. 9

Расчет операторной схемы можно провести, например, методом контурных токов I₁₁(p), I₂₂(p).

Так как в схеме есть источник тока, то следует ввести контурный ток

(6)

Операторный ток

Решение системы (6) дает выражение для операторного тока I_L(p), представляемое как отношение двух полиномов с параметром p.

Можно получить это решение, используя процедуру символьного решения пакета MathCAD.

В этом случае рекомендуется в системе (6) подставить числовые значения параметров схемы.

(7)

Для символьного решения (7) в системе MathCAD необходимо воспользоваться решающим блоком

Given

система (7)

Find(I₁₁,I₂₂) →

Знак равенства «=» в уравнениях (7) должен быть логическим. Стрелка «→» после набора оператора Find(I₁₁,I₂₂) выбирается из иконки «Панель символов»

MathCAD произведет решение и оно высветится на месте пунктира в фигурных скобках в виде матрицы-столбца. Верхняя строка этого столбца и есть операторное изображение для I₁₁(p) = I_L(p).

Для определения оригинала i_L(t) необходимо воспользоваться теоремой разложения.

Знаменатель изображения тока M(p) следует приравнять нулю и найти корни этого алгебраического уравнения. Затем следует продифференцировать знаменатель по аргументу p.

Тогда оригинал переходного тока

,

где p₁, p₂, p₃, … – корни знаменателя.

Для числовых данных задания вышеописанные операции дают следующие результаты.

:

Выражение в скобках совпадает с характеристическим уравнением при решении классическим методом, поэтому корни знаменателя , , .

Если корни комплексно-сопряженные, то коэффициенты при экспонентах тоже будут комплексно-сопряженными, и тогда мнимые слагаемые в выражении для i_L(t) уничтожаются.

По результатам численного расчета

;

Полученное выражение для i_L(t) совпадает с расчетом классическим методом.