Рекомендации по решению и оформлению задач.
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Методические указания к решению задач
и выполнению контрольной работы N 1
по начертательной геометрии.
Утверждено редакционным советом
Центра дистанционного образования
Москва 1999
Составители: Г. И. Лукинский, А. П. Назаров,
М. И. Сычев, С. Ю. Некоз
Начертательная геометрия. Инженерная графика. Методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы N 1 по начертательной геометрии. М., МГГА, 1999
Методические указания и задания для самостоятельного решения предназначены для студентов дневного и заочного отделений специальности 0807 «Технология и техника разведки месторождений полезных ископаемых», 0902 «Подземная разработка месторождений полезных ископаемых» и 0905 «Открытая разработка месторождений полезных ископаемых» МГГА, а также студентов, обучающихся по дистанционной системе обучения.
Оглавление
1. Введение…………………………………………………………………...4
2. Рекомендации по решению и оформлению задач………………………5
3. Выполнение задания N 1……..………………………………………….26
4. Рекомендуемая система обозначений……..……………………………34
5. Список рекомендуемой литературы…………………………………….40
6. Приложение……………………………………………………………....41
Введение
Методические указания предназначены для использования студентами дневного, очно – заочного, заочного и дистанционного обучения при изучении курса "Инженерная графика".
Первая часть методических указаний посвящена изучению начертательной геометрии, составляющей теоретическую основу курса. В ней приведена рекомендуемая система буквенных и других обозначений, даны рекомендации по самостоятельному решению предлагаемых задач на различные темы курса и методические указания по выполнению первой контрольной работы по начертательной геометрии.
В этой части методических указаний содержится 24 варианта задания к контрольной работе. Номер варианта контрольной работы, выполняемой студентом, указывается преподавателем.
Прежде чем выполнять работу по той или иной теме курса, студент должен досконально изучить курс начертательной геометрии по одному из учебников, приведенных в списке рекомендуемой литературы и внимательно прочитать методические указания для решения задач, приведенных в данном пособии.
Рекомендации по решению и оформлению задач.
Задачи, которые студент должен решать в процессе теоретического изучения курса начертательной геометрии, приведены в Приложении, приведенном в конце методического пособия. Программой предусматривается обязательное решение студентом одного из вариантов задачи (каждая из них имеет 10 вариантов).
Вариант решаемых задач принимается студентом по последней цифре в номере его зачетной книжки. Решение задачи выполняется карандашом на чертежной бумаге формата А4.Оформление чертежа выполняется следующим образом. На формате, расположенном таким образом, что его длинная сторона занимает вертикальное положение, проводится рамка линией толщиной S = 0.6 ¸ 1,4 мм.
( принимается равной 1 мм.), отстоящая с левой стороны формата на 20 мм. от его края, с трех других сторон - на 5 мм. от края формата. В верхней части формата указывается номер и вариант задачи, а затем пишется полностью ее условие с указанием особенностей положения конструируемых геометрических элементов, имеющихся в некоторых задачах. В нижней части формата указывается фамилия студента, шифр группы и номер его зачетной книжки.
Условие задачи допускается писать не чертежным, а рукописным шрифтом, но разборчиво и аккуратно. Все буквенные и цифровые обозначения на чертеже, фамилия, шифр и номер зачетной книжки выполняется чертежными шрифтами размером 7 или 5, но не менее 3,5.
Изображения из сборника переносятся на чертеж, при этом его увеличивают приблизительно в 2.5 ¸ 3 раза. Чертеж условия задачи и ее решение выполняют карандашом марки М, ТМ или НВчеткими линиями стандартной толщины и достаточной яркости. Основные геометрические элементы, входящие в условие задачи или конструируемые (например, проекции прямой линии, видимый контур проекции плоскости или объемной фигуры и т.п.) выполняют линиями толщиной S, а вспомогательные элементы и построения (оси проекций, линии связи и т.п.) - тонкими линиями толщиной S/2 ¸ S/3. Толщина тонких линий, выполняемых карандашом, должна быть равна 0.3 мм и более.
Исходные графические данные и последующие графические построения при решении задач должны размещаться в центральной части формата. Чертеж должен быть достаточно крупным и заполнять все свободное место формата (Рис.1). При перенесении изображения из сборника на формат необходимо сохранять относительное расположение проекций геометрических элементов, приведенных на рисунке. Буквенные и цифровые обозначения проекций геометрических фигур обязательно выполнять в соответствии с принятой системой обозначений (см. табл.1). Результаты решения метрических задач (определение длины отрезка, углов наклона, расстояний от точки до плоскости и др.) определяемые в конечном итоге измерениями, выражаются в цифровой форме с указанием единиц измерения (в мм или градусах) и выписываются на свободном месте формата, например " Ð a =38°; Ðb=54° " или "АВ = 45 мм" и т.п.
В конструктивных задачах, где откладывают отрезки определенной длины (например, при построении проекций точки по координатам), на формате показывают графически единицу масштаба с указанием содержащихся в ней единиц измерений по такой форме 0└────┘10. При увеличении исходного чертежа с условиями задачи соответственно увеличивается и единица масштаба.
При построении прямой с заданным азимутальным направлением падения и графической модели плоскости по заданным элементам залегания, а также при определении элементов залегания плоскости на ее графической модели, направление с юга на север на чертеже принимается параллельным длиной стороне формата, при этом северный конец меридиана направлен к верхнему обрезу формата.
Решению задачи должны предшествовать изучение и осмысление соответствующего теоретического материала из данного методического пособия и других рекомендованных литературных источников. Ниже приводятся методические указания по решению предлагаемых в Приложении задач.
В задаче 2 необходимо обратить внимание на то, что координаты некоторых точек имеют отрицательные значения, поэтому они откладываются на координатной оси от центра 0 в сторону противоположную положительному направлению оси.
В условии задачи 3 при ее оформлении необходимо указать положение прямой l в пространстве из табл. 3 Приложения в соответствии с выполняемым вариантом.
Для решения задачи 4 используют способ прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник строят непосредственно на проекциях отрезка. В зависимости от того, какие углы отрезка АВ определяют в выполняемом варианте необходимо руководствоваться двумя из трех прилагаемых схем прямоугольных треугольников (Рис. 2).
В задаче 5 одна из точек конструируемого отрезка KL, например, точка К, выбирается на прямой m произвольно, а проекции второй точки L должны быть определены вспомогательными построениями. Они заключаются в следующем. На прямой m выбирается вторая произвольная точка, например В, которая, как и точка К, задается двумя проекциями - горизонтальной и фронтальной. Способом прямоугольного треугольника определяют длину отрезка КВ по его проекциям. На гипотенузе треугольника от точки К1(2) откладывают отрезок заданной длины и отмечают вторую, ограничивающую его точку L*, из которой опускают перпендикуляр на прямую m1(2) и обозначают точку их пересечения L1(2). Проводя из нее линию связи, находят вторую проекцию точки - L2(1). В вариантах 9 и 10 задача, где заданная прямая является линией уровня, решение может быть выполнено также и путем построения третьей проекции прямой.
Рис. 2
Рис. 1
Задача 6 дается в проекциях с числовыми отметками. Для определения длины отрезка MN и угла его наклона a к горизонтальной плоскости проекций тоже используется способ прямоугольного треугольника. Относительная высота одной точки отрезка над другой определяется как разница числовых отметок его граничных точек и откладывается на чертеже с учетом заданной единицы масштаба и числа единиц измерений, содержащихся в ней.
В задаче 7 для построения отрезка АВ на прямой s также применяют проекции с числовыми отметками. Задача решается в такой последовательности:
1) вначале на чертеже отмечают точку А150 и направление с юга на север;
2) затем от северного конца меридиана откладывают величину азимута (азимут - это горизонтальный угол, отсчитываемый на плане от северного направления меридиана до заданного направления по ходу часовой стрелки, величина которого изменяется от 0° до 360°) и проводят через точку А150 проекцию прямой s;
3) из точки А150 под заданным углом падения к прямой s проводят вспомогательную прямую d и на ней от точки А откладывают в соответствии с масштабом отрезок заданной длины, получая вспомогательную точку В*. После этого из точки В* опускают перпендикуляр на прямую s. В точке их пересечения и находится проекция точки В;
4) определяют числовую отметку точки В, для чего измеряют на чертеже отрезок В*В, выражают его длину в принятых единицах измерения (м) и вычитают эту величину из числовой отметки (150) точки А. Полученную числовую величину записывают в виде подстрочного индекса у буквенного обозначения точки В, например, В120.
Перед решением задачи 8 необходимо повторить классификацию прямых и изучить материал по взаимному положению двух прямых. При написании условия задачи на формате необходимо указать, какое положение занимает прямая d в пространстве (по заданию), а также указать взаимное положение прямых с и d для Вашего варианта. Эти сведения берутся из табл. 8 Приложения.
Для решения задачи 9 следует знать условия принадлежности прямой и точки к плоскости. Необходимо помнить, что для прямой эти условия могут быть сформулированы в двух вариантах, а именно:
1) если проекции прямой проходят через одноименные проекции двух точек, лежащих в плоскости, то прямая принадлежит плоскости;
2) если проекции прямой проходят через одноименные проекции точки, лежащей в плоскости, и параллельны одноименным проекциям другой прямой, лежащей в плоскости, то заданная прямая принадлежит плоскости.
Для решения 6, 8, и 9-го вариантов задачи необходимо ориентироваться на второй вариант условий принадлежности. В варианте 8 плоскость проходит через ось х и точку А. Для построения второй проекции прямой d следует провести в плоскости Q через точку А еще одну прямую, общего положения, которая пересекла бы прямую d. Построив проекции точки пересечения прямых, проводят и вторую проекцию прямой d. Вариант 9 может быть также решен с помощью проведения в плоскости вспомогательной прямой общего положения или построением профильной проекции плоскости.
В варианте 3, где плоскость Q задана точкой А и прямой m, тоже следует провести в плоскости через точку А вспомогательную прямую, например, горизонталь, которая бы пересекла прямые d и m.
В метрической задаче 10, в которой определяются углы наклона плоскости, предусматривается следующий общий алгоритм решения:
1) проводятся проекции линий наибольшего наклона u и q плоскости S к плоскостям проекций P1 и P2, для чего предварительно проводятся соответствующие линии уровня плоскости h и f. Линии наибольшего наклона задают отрезками, т.е. указывают в плоскости проекции точек, ограничивающих каждую из этих линий;
2) способом прямоугольного треугольника определяют углы a u и b q наклона линий u и q. Уголa S будет равен по величине углу a u, а угол b S будет равен углу b q.
В некоторых вариантах задачи (5, 6 и 7-м) плоскость S занимает частное положение, что облегчает решение. Оно может быть выполнено и путем построения третьей проекции плоскости S3.
В варианте 3 для упрощения решения (при проведении в плоскости линий наибольшего наклона и задании их отрезками) целесообразно провести в плоскости S со вспомогательной целью хотя бы одну из линий уровня (f или h).
Задача 11 - позиционная. Она содержит различные случаи пересечения двух плоскостей ( плоскость общего положения пересекается с плоскостью общего или частного положения; плоскости частного положения пересекают одна другую).
При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных в общем виде, используют способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения. Для этого вводят в общем случае две вспомогательных плоскости. Каждая из них дает возможность построить одну точку, принадлежащую линии пересечения.
В тех вариантах, где плоскости заданы следами, необходимо выяснить вначале по чертежу - не пересекаются ли следы плоскостей Q и D в пределах чертежа. Если такое пересечение имеется как у горизонтальных, так и у фронтальных следов, то введения вспомогательных плоскостей не требуется; если же пересекается только одна пара следов, то требуется введение одной вспомогательной плоскости, а если обе пары следов в пределах чертежа не пересекаются, то вводят две вспомогательные плоскости.
Для решения позиционной задачи 12 в общем случае следует использовать такой алгоритм: через заданную прямую d проводят вспомогательную плоскость частного положения, находят линию пересечения двух плоскостей - заданной плоскости L и вспомогательной, затем отмечают точку пересечения найденной линии и прямой d. Эта точка - результат пересечения прямой d и плоскости L.
В тех вариантах, где плоскость L или прямая d занимают частное положение, решение задачи упрощается, так как одна из проекций точки пересечения прямой и плоскости на чертеже уже имеется.
Метрическая задача 13 применяется в решении некоторых технических задач в геологии, в горном деле.
Чтобы определить кратчайшее расстояние от точки А до плоскости, в общем случае необходимо выполнить следующие графические операции:
1) провести перпендикуляр к плоскости, для чего нужно предварительно провести в плоскости проекций линии уровня h и f;
2) построить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (алгоритм построений дан в комментариях к решению задачи 12);
3) способом прямоугольного треугольника определить длину полученного отрезка перпендикуляра.
В вариантах, где плоскость занимает частное положение, решение упрощается.
Задача 14 посвящена конструированию плоскости, перпендикулярной к другой плоскости, а также к прямой, лежащей в этой плоскости. Способ задания конструируемой плоскости выбирается исходя из того, что заданная прямая ВС является перпендикуляром по отношению к конструируемой плоскости и поэтому целесообразно задать плоскость проекциями ее фронтали и пересекающейся с ней горизонтали, расположив их соответствующим образом по отношению к проекциям прямой ВС, как того требуют условия перпендикулярности прямой и плоскости.
В задаче 15 необходимо определить элементы залегания плоскости S по ее графической модели, на которой она задана другим способом. Под этим понимается определение положения линий простирания и падения плоскости в пространстве путем измерения азимутальных углов этих линий, а также определение угла падения (наклона) линии падения к плоскости P1.
В начале в заданной плоскости проводят проекции линии простирания, которая будет одной из горизонталей плоскости. При этом построение начинают с фронтальной проекции, а затем строят и горизонтальную проекцию линии простирания.
Угол между линиями простирания и падения проецируется без искажения на горизонтальную плоскость P1, поэтому построение линии падения плоскости начинают с горизонтальной проекции. Линию падения задают отрезком, указывая проекции двух точек в плоскости, через которые она пройдет.
На горизонтальной плоскости отмечают положение меридиана Ю-С(параллельно длинной стороне формата) и замеряют азимутальные углы линий падения и простирания. Направление простирания плоскости условно принимают таким, чтобы падение плоскости было направлено вправо (если смотреть по направлению простирания). Затем методом прямоугольного треугольника определяют угол a наклона линии падения к плоскости проекций P1. Угол падения плоскости S будет равен этому углу. В задаче используются иные буквенные обозначения углов, чем в принятой системе обозначений. Определитель заданной плоскости S записывается по такой форме S (K; аз. пад. Ð °; аз. прост. Ð °; Ð пад. °). Здесь K - точка плоскости, в которой замеряют азимутальные углы.
Задача 16 является обратной по отношению к задаче 15. В ней необходимо построить графическую модель плоскости по заданным элементам залегания. Решается задача в проекциях с числовыми отметками.
Построения начинают с указания положения и обозначения на чертеже проекции точки А и положения меридиана Ю-С. Затем от северного конца меридиана, проведенного через точку А, откладывают заданную величину азимута линии падения и проводят проекцию этой линии на чертеже. После этого проводят проекцию линии простирания. На основе заданной единицы масштаба и известного угла падения строят единичный профиль линии падения плоскости и определяют интервал заложения линии падения l u, который равен интервалу заложения плоскости l p.
Откладывая на проекции линии падения от точки А величину интервала lu, находим проекцию точки В, через которую параллельно линии простирания пройдет проекция второй горизонтали плоскости Р. Указывают числовые отметки точки В и горизонтали, ставят буквенное обозначение плоскости.
Задача 17 посвящена использованию одного из способов преобразования чертежа - способа замены плоскостей проекций. Варианты задачи рассчитаны на применение в решении одной или последовательно двух из четырех типовых задач этого способа, рассматриваемых при изучении курса. Две первых типовых задачи связаны с преобразованием прямой линии, третья и четвертая - с преобразованием плоскости.
В варианте 2 для решения задачи необходимо вначале построить вторую проекцию треугольника, лежащего в плоскости, а затем выполнять преобразование плоскости S. Чтобы получить треугольник АВС в натуральную величину, необходимо преобразовать плоскость S в плоскость уровня, то есть последовательно решить третью и четвертую типовые задачи.
В варианте 3, чтобы определить углы aи b наклона плоскости S к плоскостям проекций P1 и P2 , следует вначале выполнить построения по преобразованию плоскости S во фронтально - проецирующую, а затем, для определения угла b преобразовать плоскость S в горизонтально - проецирующую.
Для решения четвертого и пятого вариантов задачи 17 необходимо использовать третью типовую задачу способа замены плоскостей проекций.
Шестой вариант предусматривает последовательное решение третьей и четвертой типовых задач.
В седьмом варианте, чтобы определить двугранный угол между плоскостями W и Р, нужно преобразовать обе плоскости в проецирующие. Это преобразование выполняется таким образом. Находится линия пересечения плоскостей W и Р, которая является ребром двугранного угла, образованного плоскостями. Достаточно преобразовать ребро из линии общего положения в проецирующую линию, то есть решить первую и вторую типовые задачи, как плоскости W и Р станут также проецирующими. Преобразование плоскостей проводится одновременно с преобразованием ребра. Для этого на каждой из плоскостей достаточно задать по одной точке (например, лежащей на одном из следов плоскостей) и затем строить их новые проекции одновременно с построением новых проекций ребра. Ребро проецируется в результате преобразований в точку. Через нее и через проекции точек, лежащих в плоскостях W и Р и пройдут стороны искомого угла, проецирующегося в натуральную величину.
Для решения восьмого варианта задачи достаточно использовать первую и вторую типовые задачи.
Вариант 9 задачи имеет следующие особенности решения. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми определяется отрезком общего перпендикуляра, пересекающего скрещивающиеся прямые. Чтобы провести и спроецировать отрезок общего перпендикуляра в натуральную величину, необходимо одну из скрещивающих прямых преобразовать в проецирующую. Независимо от положения второй скрещивающейся линии прямой угол между ней и отрезком общего перпендикуляра будет проецироваться в натуральную величину, так как отрезок будет параллелен новой плоскости проекций.
В варианте 10, чтобы построить в плоскости S проекции равностороннего треугольника с вершиной в точке А и длиной стороны 30 мм, необходимо преобразовать плоскость S в плоскость уровня используя последовательно третью и четвертую типовые задачи. Вместе с плоскостью претерпевает преобразование и точка А. Когда плоскость S будет спроецирована как плоскость уровня, на ней строят равносторонний треугольник с вершиной в точке А и заданной длиной стороны. Чтобы перенести проекции двух других вершин В и С на плоскости P1 и P2, целесообразно провести в плоскости через эти вершины линии уровня, которые облегчат построение точек В1; В2 ;С1 и С2.
Для облегчения решения задачи вторую из вершин, например В, возможно построить на той же горизонтали, на которой находится вершина А. Отрезок горизонтали АВ будет проецироваться в натуральную величину на плоскости P1, то есть А1В1 = 30 мм. Тогда в результате преобразований достаточно построить проекции лишь третьей вершины С.
В вариантах решения задачи 18 должен использоваться способ преобразования чертежа вращением. В вариантах 1; 5; 6; 7; 9; 10 проводят вращение вокруг линии уровня, а в остальных вариантах - вращение вокруг проецирующей прямой.
Прежде чем приступать к преобразованию плоскости вращением, в вариантах 1; 2; 3; 5; 6; 9 и 10 необходимо построить вторую проекцию фигуры, исходя из условия, что фигура принадлежит плоскости (проекции точек фигуры должны лежать на одноименных проекциях прямых, лежащих в плоскости и на общих линиях связи). В вариантах 1; 3; 6; 9 вращение целесообразно проводить вокруг одного из следов (способом совмещения), в варианте 10 рациональней построить горизонтальный след плоскости и вращать фигуру вокруг него.
Второй вариант задачи может быть решен путем использования также и профильной проекции фигуры.
В вариантах, в которых плоскость фигуры занимает проецирующее положение, вращение проводят вокруг проецирующей прямой, до положения, когда фигура займет положение плоскости уровня.
В варианте 6 плоскость, в которой лежит фигура, занимает нисходящее положение, поэтому вращение фигуры удобней производить вокруг одной из горизонталей, например, вокруг горизонтали, проходящей через точки 1 и 2.
Для решения задачи 19 следует повторить материалы курса о построении линии пересечения двух плоскостей, точки пересечения прямой и плоскости. Эти знания необходимы при построении проекций сечения многогранника плоскостью способом граней и способом ребер.
При определении истинной величины сечения целесообразно применить способ преобразования чертежа вращением вокруг линии уровня.
В вариантах задачи 1, 2, 3, 7, 9 и 10 грани многогранников занимают частное положение и для построения линии пересечения их заданной плоскостью Q может быть использован способ граней. В вариантах 4, 5, 6, 8 частное положение имеет секущая плоскость Q. В первую очередь здесь могут быть отмечены точки пересечения ребер секущей плоскостью (вершины сечения), которые затем соединяют отрезками прямых.
Некоторые трудности встречаются в решении варианта 7. В целях облегчения построения линий пересечения боковых граней призмы, в секущей плоскости целесообразно провести дополнительно горизонталь. Для упрощения решения в 9 и 10 вариантах также имеет смысл провести в секущей плоскости Q дополнительные линии (например, в варианте 9 параллельную прямой d, а в десятом - параллельную прямой h).
При определении истинной величины сечения вращением целесообразно при выборе направления вращения исходить из того, чтобы перемещенное сечение не накладывалось на выполненные ранее построения или накладывалось лишь частично.
В задаче 20 необходимо построить линию пересечения различных поверхностей вращения плоскостью L. Для этого необходимо знание видов сечений, получающихся при пересечении основных фигур - цилиндра, конуса, сферы различно расположенными по отношению к ним плоскостями, и особенностей применяемого для построений способа.
В вариантах 1, 2, 3, 5, 6, 8 секущая плоскость L занимает частное положение. Это значительно упрощает построение, так как на одной из проекций линия сечения совпадает с проекцией плоскости, и задача сводится к построению второй проекции опорных и случайных точек, принадлежащих линии сечения, на основе условия принадлежности их поверхности вращения. Согласно этому условию проекции точки должны находиться на одноименных проекциях линии, принадлежащей поверхности. В качестве таких линий могут быть приняты параллели поверхности вращения, представляющие собой окружности, или прямолинейные образующие.
В варианте 4 для нахождения наинизшей точки сечения следует воспользоваться способом замены плоскостей проекций и ввести вместо фронтальной плоскости P2 новую фронтальную плоскость P4, перпендикулярную к горизонтали h секущей плоскости. Плоскость L преобразуется в проецирующую, а проекция полусферы на плоскости P4 останется прежней. Такое преобразование позволит отметить на P4 наинизшую точку сечения и перенести ее обратно на плоскости P1 и P2, а также построить и проекции некоторых случайных точек сечения.
В вариантах 7 и 9 используется способ вспомогательных плоскостей, характерный для общих случаев положения секущей плоскости.
В вариантах 9 и 10 следует обратить внимание на благоприятное для решения положение горизонтали h, являющейся одним из элементов, которыми задана плоскость L. Чтобы найти наиболее удаленную точку сечения в варианте 10, необходимо использовать фронтально проецирующую вспомогательную плоскость, проходящую через ось полуцилиндра, перпендикулярно фронтали плоскости L .
Задачи 21 и 22 посвящены изучению основ построения графических моделей буровых скважин.
В задаче 21 приведены упрощенные изображения буровых скважин, различным образом размещающихся в толще пород. Трасса каждой скважины определена двумя звеньями ломаной линии. Точка А - устье скважины. По графической модели скважины должны быть определены истинные величины зенитных и азимутальных углов для каждого из звеньев. У некоторых звеньев скважин, занимающих положение линии уровня (см. Варианты 1, 3, 8, 9, 10), зенитный угол проецируется в натуральную величину, у других звеньев, находящихся в общем положении, - проецируется с искажением. Найти его истинное значение можно только вспомогательными построениями.
Рекомендуется использовать способ вращения вокруг горизонтально проецирующей прямой, проведенной через верхнюю точку звена. В результате вращения звено должно быть преобразовано из общего положения во фронтальное и зенитный угол проецируется в натуральную величину В вариантах 8, 9 и 10 для применения способа вращения необходимо построить предварительно горизонтальную проекцию скважины на основе двух заданных.
Определение зенитного угла в некоторых вариантах может быть выполнено также способом прямоугольного треугольника. При этом используется схема I (см. рис. 2). Зенитный угол и угол наклона прямой к горизонтальной плоскости в сумме составляют 90 °, поэтому способом прямоугольника определяют угол наклона звена a к плоскости P1, а затем и зенитный угол g, как дополнение до 90 °.
Азимутальные углы звеньев определяют путем замера на горизонтальной плоскости проекций. Направление с юга на север принимается параллельным длинной стороне формата от нижнего края его к верхнему.
Задача 22 относится к конструктивным. В ней проводится построение графической модели буровой скважины по заданным параметрам.
Решение начинают с построения проекций точки В по заданным координатам, измеряемым в миллиметрах.
Затем по заданному азимутальному углу из точки В1 проводят горизонтальную проекцию трассы скважины.
На фронтальной плоскости из точки В2 проводят вертикальную линию и, применяя масштаб, откладывают на ней заданную глубину скважины. На этой глубине параллельно оси х проводят горизонтальную линию.
Чтобы построить фронтальную проекцию скважины прибегают к преобразованию чертежа. Вначале строят преобразованное положение фронтальной проекции скважины. Для этого мысленно вращают скважину вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку В, до фронтального положения.
При этом зенитный угол скважины проецируется на плоскость P2 в натуральную величину. Это позволяет построить фронтальную проекцию преобразованной модели скважины откладывая заданную величину зенитного угла от вертикальной линии. Зенитный угол откладывается влево или вправо от вертикали в зависимости от положения горизонтальной проекции скважины.
Отмечают точку С2 , в которой преобразования фронтальная проекция пересечет ранее проведенную горизонтальную линию. Точка С2 определяет положение забоя скважины, поэтому отрезок В2С2 выражает длину скважины в масштабе 1:1000.Следует измерить отрезок В2С2 и определить с применением масштаба натуральную длину скважины в метрах.
Для построения проектного положения скважины необходимо найти положение точек С1 и С2. В этих целях осуществляют обратный поворот скважины вокруг вертикали на тот же угол до совпадения с горизонтальной ее проекцией. Предварительно на фронтальной прямой, проходящей через точку В1 строят с помощью линии связи точку С1. Затем радиусом В1С1 проводят дугу (с центром в точке В1), пересекающую горизонтальную проекцию скважины. Точка пересечения С1 будет определять проектное положение забоя скважины на плоскости проекций P1. Фронтальная проекция этой точки - C2 будет расположена на заданной глубине. Её находят проведением линии связи из точки C1.
Решение задачи завершается проведением фронтальной проекции скважины B2C2.
Проекции скважины B1C1 и B2C2 обводят сплошной толстой линией, а вспомогательные построения выполняют сплошными тонкими линиями.
Выполнение задания N 1.
Задание 1 по начертательной геометрии входит в состав I-й контрольной работы. В нем предлагается комплекс метрических и позиционных задач, в которых исходными и конструируемыми геометрическими элементами являются точки, прямые, плоскости.
В задании в качестве исходных данных приводятся координаты трех точек А, В, и С, являющихся вершинами треугольника и определяющих плоскость S(АВС).
Требуется решить следующие задачи:
1) построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости S;
2) определить угол aнаклона плоскости S к плоскости проекций P1;
3) провести плоскость Q, параллельную плоскости S и расположенную от нее на расстоянии 60 мм;
4) задать плоскость D, проходящую через точку В и перпендикулярную к стороне АС треугольника;
5) построить линию пересечения m плоскости S с конструируемой плоскостью D;
6) определить видимость плоскостей S и D на горизонтальном и фронтальном изображениях, считая обе плоскости непрозрачными.
Задание выполняется тушью рейсфедером на чертежной бумаге типа "ватман", формат чертежа-А3 (297х420 мм). Внутри формата проводится рамка, отстоящая от левого края формата на 20 мм, а от трех других краев на 5 мм. Рамка проводится сплошной основной линией, также как и основная надпись. Основная надпись располагается в правом нижнем углу формата вдоль длинной его стороны (рис. 3).
При заполнении основной надписи необходимо использовать только чертежные шрифты. Образец заполнения и размеры основной надписи для работ по начертательной геометрии приведены на рис. 3.
Задание 1 дается в 24 вариантах. Исходные данные по каждому из 24 вариантов приведены в табл. 2.
Для решения первой задачи на формате проводят систему прямоугольных координатных осей. В целях удобства построений результат, в виде двух проекций треугольника - горизонтальной и фронтальной, изображают дважды: сначала в левой половине формата, затем в правой. Это делается для того, чтобы вторую и третью задачи выполнить на левом изображении проекций треугольника, а оставшиеся три - на правой.
Порядок решения первой задачи таков:
1) проводят координатные оси х, y, z в левой и правой частях формата;
2) по заданным координатам строят горизонтальные и фронтальные проекции точек А, В, С;
3) соединяют одноименные проекции точек отрезками прямых и на этом заканчивают построение проекций плоскости S(АВС).
Известно, что в основе решения второй задачи по определению угла наклона плоскости к плоскости проекций, лежит проведение в заданной плоскости линии наибольшего наклона. В предлагаемой задаче такой линией будет линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций P1. Эта линия лежит в плоскости S и составляет прямой угол с любой горизонталью этой плоскости. Угол наклона этой линии au , определяемый методом прямоугольного треугольника, и будет равен углу наклона aS плоскости S к плоскости проекций P1.Алгоритм решения второй задачи будет следующим:
1) в плоскости S проводят горизонталь h; построение начинают с фронтальной ее проекции; затем строят и горизонтальную проекцию горизонтали;
2) на горизонтальной проекции плоскости S проводят проекцию линии наибольшего наклона u1. Эта проекция располагается перпендикулярно проекции горизонтали, так как прямой угол между ними проецируется в натуральную величину на P1. Линию u необходимо задать отрезком, указав проекции двух точек плоскости S, через которые она проходит. После чего, используя линии связи, строят и фронтальную проекцию линии u;
3) на фронтальной проекции линии u замеряют относительную высоту одной граничной точки ее отрезка над другой граничной точкой и на горизонтальной проекции отрезка выполняют построение прямоугольного треугольника,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3
один из катетов которого равен относительной высоте точек отрезка линии u, а второй равен длине горизонтальной проекции отрезка линии u. Угол между гипотенузой треугольника и проекцией отрезка линии u1 будет равен углу наклона aS плоскости S к плоскости проекций P1;
4) измеряют величину искомого угла и записывают на чертеже.
Третья задача является комбинированной. Она включает как позиционные, так и метрические задачи. По характеру решения она является конструкционной, поскольку требуется построить (сконструировать) плоскость параллельную заданной и находящуюся от нее на определенном расстоянии.
Известно, что расстояние между параллельными плоскостями может быть измерено по перпендикуляру, проведенному из точки заданной плоскости в направлении конструируемой плоскости. Алгоритм решения этой задачи следующий:
1) вначале необходимо на плоскости S выбрать точку, например точку D (рис.4), из которой было бы удобно провести проекции перпендикуляра к плоскости и выполнить дальнейшие вспомогательные построения таким образом, чтобы они не накладывались по возможности, на проекции плоскости S;
2) горизонтальная проекция перпендикуляра n1 проводится под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали h1 плоскости. Для того, чтобы провести фронтальную проекцию перпендикуляра, нужно предварительно провести в плоскости проекции f1 и f2 фронтали. Фронтальную проекцию перпендикуляра n2 необходимо построить так, чтобы она проходила через выбранную точку D под прямым углом к фронтальной проекции фронтали;
3) после проведения проекций перпендикуляра переходят к построению на нем проекций точки, отстоящей на 60 мм от плоскости S (как в задаче 5 для самостоятельного решения). При этом используется следующий прием: на перпендикуляре n строят проекции вспомогательной точки 3 и определяют способом прямоугольного треугольника длину произвольного отрезка D3 перпендикуляра n. Затем, продолжив гипотенузу построенного треугольника, откладывают от точки D отрезок длиной 60 мм и отмечают вспомогательную точку K*. На основе подобия треугольников строим точку K1 на горизонтальной проекции перпендикуляра, а потом и ее фронтальную проекцию K2. Точка K(K1 ;K2) отстоит от плоскости S на 60 мм. Конструируемая плоскость должна пройти, таким образом, через точку K параллельно плоскости S. Можно задать конструируемую плоскость двумя пересекающимися прямыми, которые будут соответственно параллельны каким-либо двум пересекающимся прямым плоскости S.
Четвертая задача является позиционной по своему содержанию. Для ее решения предварительно изучают два возможных способа проведения плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости и выбирают из них тот, который соответствует требованиям условия задачи, а именно - проведение конструируемой плоскости D перпендикулярно к прямой АС, лежащей в заданной плоскости S. В этом случае прямая АС будет являться перпендикуляром к конструируемой
плоскости D, поэтому целесообразно задать плоскость D двумя пересекающимися прямыми - фронталью и горизонталью, расположив их проекции соответствующим образом по отношению к прямой АС, выполняя условия перпендикулярности прямой и плоскости. Так как по условию конструируемая плоскость D должна проходить через вершину В треугольника, то проекции фронтали и горизонтали должны проходить через одноименные проекции точки В.
Для решения пятой задачи - построения линии m пересечения плоскостей S и D, необходимо использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как обе плоскости занимают общее положение в пространстве.
В общем случае проводятся две вспомогательные плоскости, каждая из которых дает возможность построить одну из двух точек, принадлежащих линии пересечения. Так как пересекающиеся плоскости S и D уже имеют одну общую точку В, то в задаче 5 для построения проекций линии m достаточно ввести одну вспомогательную плоскость (плоскость уровня или проецирующую). Она должна пересекать обе плоскости: S и D. На рис. 4 такой вспомогательной плоскостью является плоскость Г. Она даст две линии пересечения: одну с плоскостью S, другую - с плоскостью D. Пересекаясь, они дают вторую точку (5), принадлежащую линии пересечения m. После этого проводятся проекции линии m.
Шестая задача не требует специальных построений. При определении видимости плоскостей S и D считают, что плоскости непрозрачны, распространяются во все стороны и не ограничены прямыми, которыми они заданы. Видимость плоскостей определяется способом конкурирующих точек. Конкурирующими называют точки, проекции которых на чертеже совпадают. Для определения видимости плоскостей S и D на горизонтальной проекции используют горизонтальные конкурирующие точки. Одна из них должна лежать на прямой, принадлежащей плоскости S, а другая - на прямой, лежащей в плоскости D. Построив фронтальные проекции точек, рассматривают их положение по высоте и определяют по ним видимость плоскостей.
Для определения видимости на фронтальной плоскости P2 используют фронтально конкурирующие точки. Необходимо отметить, что видимость каждой плоскости меняется по линии пересечения m. Например, если по одну сторону от линии пересечения m плоскость S будет видна, то по другую сторону m - невидима.
Таблица 1
Рекомендуемая система обозначений.
| №№ | Наименование проекций геометрических фигур, величин, операций и символов | Используемый в обозначениях алфавит | Рекомендуемые обозначения |
| А. Ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости | |||
| 1. | Проекции точек горизонтальная фронтальная профильная | Прописные латинские буквы или арабские цифры с подстрочным цифровым индексом | A1, B1, C1,...11, 21,.. A2, B2, C2,...12, 22,.. A3, B3, C3,...13, 23,.. |
Продолжение таблицы 1
| 2. | Проекции прямых общего положения, проецирующих и кривых линий горизонтальная проекция фронтальная проекция профильная проекция | Строчные латинские буквы | a1, b1, c1, d1... a2, b2, c2, d2... a3, b3, c3, d3.... |
| 3. | Проекции прямых и кривых уровня горизонталь фронталь профильная прямая | Строчные латинские буквы h f p | h1, h2, h3 f1, f2, f3 p1, p2, p3 |
| 4. | Проекции следов прямой линии горизонтального фронтального профильного | Прописные латинские буквы H F P | H1, H2, H3 F1, F2, F3 P1, P2, P3 |
| 5. | Оси проекций и координатные оси ось абсцисс ось ординат ось аппликат | Строчные латинские буквы x, y, z | x y z |
| 6. | Плоскости проекций горизонтальная фронтальная профильная | Прописная греческая буква P с подстрочным цифровым индексом | P1 P2 P3 |
| 7. | Углы наклона прямой и плоскости к плоскостям проекций к P1 к P2 к P3 | Сточные греческие буквы a, b, g | a b g |
| 8. | Плоскости общего положения | Прописные греческие буквы D, Q, L, S, T, Y, W | На чертеже задаются проекциями элементов, определяющих положение плоскостей в пространстве |
| 9. | Проекции плоскостей уровня горизонтальной фронтальной профильной | Прописные греческие буквы G, F, R | G2 ; G3 F1; F3 R1; R3 |
| 10. | Проекции проецирующих плоскостей горизонтально –проецирующая фронтально –проецирующая профильно - проецирующая | Прописные греческие буквы D, Q, L, S, T, Y, W, K, M | D1, Q1, L1... S2, T2, Y2... K3, M3... |
Продолжение таблицы 1
| 11. | Проекции следов плоскости горизонтального фронтального профильного | Строчные латинские буквы h, f, p с надстрочным буквенным индексом плоскости | h1L; h2L; h3L f1D; f2D; f3D p1Q; p2Q; p3Q |
| 12. | Проекции линий наибольшего наклона (ЛНН) плоскости к плоскостям проекций P1 P2 P3 | Строчные латинские буквы u, q, t | u1; u2; u3 q1; q2; q3 t1; t2; t3 |
| 13. | Определитель плоскости заданной: а) следами б) тремя точками в) точкой и прямой г) двумя параллельными прямыми д) двумя пересекающи- мися прямыми е) проекцией, представляющей прямую линию ж) элементами залегания, замеренными в точке N | Y(f Y∩ hY); S(fS ║ hS) Q(A; B; C) D(E; m) L(e ║ d) T(a ∩ b) G(G2); F(F1); K(K3) W(N, азим.пад.178оÐ38о) | |
| 14. | Новая плоскость проекций при преобразовании чертежа фронтальная горизонтальная | Прописная греческая буква P с подстрочным цифровым индексом | P4 P5 |
| 15. | Новая ось проекций при замене плоскости проекций P1 на P5 P2 на P4 | X2;5 x1;4 | |
| 16. | Проекции фигур на новых плоскостях проекций P4; P5 а) точка б) прямая в) плоскость | Прописные латинские буквы или арабские цифры Строчные латинские буквы Прописные греческие буквы | A4; B4; ...15; 25 ... a4; b4; ...d5; e5... G4; D4;...L5;S5 |
| 17. | Новое положение геометрического элемента после преобразования вращением. Точка Прямая | B a | _ B a |
Продолжение таблицы 1
| 18. | Поверхности кривых поверхностей в системе плоскостей проекций P1; P2 ; P3 | Прописные греческие буквы D, Q, L, R, S, T, Y, W, K... | D1 ; D2 ; D3 Q1 ; Q2 ; Q3 |
| 19. | Символы, определяющие: 1. Взаимное положение геометрических элементов а) пересечение прямых, плоскостей, поверхностей б) не пересечение в) параллельность прямых, плоскостей г) не параллельность прямых, плоскостей д) скрещивание прямых е) перпендикулярность прямых, плоскостей ж) не перпендикулярность прямых, плоскостей з) принадлежность: точки прямой прямой плоскости и поверхности и) не принадлежность одного геометрического элемента другому к) совпадение проекций двух геометрических элементов л) прямой угол 2. Результат геометрической операции 3.Последовательность положения геометрической фигуры в процессе преобразований чертежа или порядковый номер фигур одного наименования (например, горизонталей) | ∩, ´ ∩, ´ ║ ║ _·_ ^ ^ Ì Ë º = Обозначение с надстрочным индексом | a ∩ b; c ∩ S ; Q ∩ D, L ´ W c ∩ d; t ∩ p... c ║ d; t ║ p f ║ h; m ║ P1;D║ G q _·_ b e ^ f; n ^ Q; D ^ S a ^ m; b ^ T; R ^ F A Ì t t Ì S l Ë D C1 º D1; a2 º b2 K = i ∩Y E1, E2, E3,..En d1, d2, d3,..dn h1, h2, h3,..hn |
| Б. Проекции с числовыми отметками | |||
| 1. | Горизонтальная плоскость проекций (плоскость нулевого уровня) | Прописная греческая буква P с нулевым подстрочным индексом | P0 |
Продолжение таблицы 1