Определение предела функции

Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого наперед заданного положительного числа (хотя бы и как угодно малого) можно найти такое положительное число , что для всех значений , входящих в область определения функции, отличных от и удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Короче: число называется пределом функции при , стремящемся к , если выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства , где - наперед заданное число, а соответствующим образом подобрано.

В определении предела функции следует обратить внимание на то, что вовсе не требуется, чтобы функция была непременно определена в точке . Для того чтобы функция имела возможность стремиться к пределу при , необходимо лишь чтобы в области ее существования были точки, как угодно близкие к и отличные от .

14.1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

а) Функция называется бесконечно малой при , если

(14.1) .

б) Функция называется бесконечно большой при если имеет место одно из равенств

.

с) Функция называется ограниченной при , если существует такое положительное число , что для всех значений из окрестности числа выполняется неравенство .

14.2. Свойства бесконечно малых функций.

а) Если функция бесконечно мала при , то и также мала при .

б) Если функции и бесконечно малы при , то сумма их, а также и разность их: и бесконечно малы при (это утверждение распространяется на любое фиксированное число функций).

с) Если при функция бесконечно мала, а функция - ограничена, то их произведение есть функция бесконечно малая.

14.3. Свойства бесконечно малых функций.

Если при функция имеет конечный предел , а функция - бесконечно велика , то

а) сумма их – бесконечно велика, т.е. . Предел отношения к равен нулю: .

б) если , а , причем положительна в окрестности точки , то .

с) при положительном , если , то .

д) произведение двух бесконечно больших функций бесконечно большая, т.е если и , то и .

14.4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями:

а) Если при - бесконечно большая функция, то функция бесконечно малая.

б) Если при функция бесконечно мала, то функция - бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки функция в нуль на обращается.

14.5. Правила предельного перехода.

а) Если при функция и имеют конечные пределы, то и алгебраическая сумма их имеет предел, который равен сумме их пределов, т.е. если , а , то .

Короче (но не совсем точно): предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций.

б) Если при функции и имеют пределы, то их произведение также имеет предел, который равен произведению их пределов, т.е. если , а , то .

Короче (но не совсем точно): предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций. Свойства а) и б) распространяются на любое фиксированное число функций.

с) Если при функции и имеют пределы и предел функции равен нулю, то предел их частного существует и равен частному от деления их пределов, т.е. если , а , то

Короче (но не совсем точно): предел частного равен частному пределов если предел знаменателя не равен нулю.

14.6. Предел целой рациональной функции.

Если

То

(14.2)

т.е. при отыскании предела целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением.

14.7. Предел дробно-рациональной функции.

Если

,

То

(14.3) , если

т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль.

Задача 14.1

Найти .

Решение.

Функция - целая рациональная. Для отыскания ее предела применима формула (14.2). Заменим в аналитическом выражении функции его предельным значением и получим

.

Задача 14.2

(для самостоятельного решения). Найти

1) ;

2) .

Ответ.

1) ;

2) .

Указание. Воспользоваться формулой (14.2).

Задача 14.3

Найти .

Решение.

Здесь отыскивается предел дробно-рациональной функции. Прежде чем применять (14.3), надо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при . Проверяем:

Задача 14.4

(для самостоятельного решения). Найти переделы:

1) ;

2) .

Указания. 1) Проверить, что знаменатель дроби в первом примере при , а во втором при не обращается в ноль; 2) воспользоваться формулой (14.3).

Ответ.

1) 0;

2) .

Задача 14.5

Найти .

Решение.

Знаменатель дроби обращается в нуль при , а поэтому функция при не существует.

Теорему о пределе дроби (14.5п. с) применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. По той же причине нельзя применит и формулу (14.3). Но определение предела функции содержит существующую оговорку: при отыскании предела функции при значение функции при может не рассматриваться. От функции это определение не требует, чтобы точка входила в область существования функции. Поэтому значение может нами не приниматься во внимание. Именно эти соображения и дадут возможность решить задачу. В нашем случае мы должны считать, что , стремясь к 2,никогда не становиться равным 2, а потому значение функции при нас не интересует.

При и числитель и знаменатель, и знаменатель дроби обращается в нуль. Мы имеем в данном случае отношение двух бесконечно малых функций, о котором без специального исследования ничего определенного сказать нельзя. Для решения задачи разделим числитель и знаменатель дроби на . Мы имеем право это сделать потому, что значение не рассматривается и, значит,

Если бы указанной оговорки а определении предела функции не было и мы должны были бы рассматривать и значение , то разделить числитель и знаменатель дроби на мы не смогли бы, так как такое деление означало бы деление числителя и знаменателя дроби на нуль, что, конечно, недопустимо. После сокращения дроби на получим

,

И нам придется отыскать предел на данной функции, а функции . Тогда перед учащимся должен возникнуть такой вопрос: тождественны ли функции и . Этот вопрос имеет положительный ответ: функции тождественны, если не рассматривать значения . Следует иметь ввиду, что две функции тождественны, если они удовлетворяют таким двум требованиям:

1) Их области существования совпадают и

2) При одном и том же значении аргумента, взятом из области существования функции, численные значения функции равны.

В нашем случае эти два требования будут выполнены, если не рассматривать значения , но ведь оно и не рассматривается. Таким образом,

Так как функция -целая рациональная функция и для определения ее предела на основании формулы (14.2) следует в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением.

Можно указать такое

Правило. Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на и перейти к пределу.

Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при , то надо произвести повторное деление на ( это правило основывается на известном из элементарной алгебры следствии из теоремы Безу, согласно которому, если многочлен обращается в нуль при , то он делится без остатка на ).

Теперь для самостоятельного решения будет предложен ряд задач на определение предела дробно-рациональной функции.

Задача 14.6

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. При числитель и знаменатель дроби – функции бесконечно малые, пределы их равны нулю. Об их отношении без специального исследовании ничего определенного сказать нельзя. Теорему 14.5п. о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Следует применить указанное правило; разделить числитель и знаменатель дроби на . Повторить рассуждения предыдущей задачи о допустимости такого решения.

Ответ.

Следует не только запомнить тот или иной прием, но главное - понять, на чем основано его применение, и каждое действие проводить совершенно сознательно, а не автоматически, «по правилам». Применяя правило, надо понимать те положения, из которых оно выведено.

Задача 14.7

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Здесь опять-таки функции, состоящие в числителе и знаменателе дроби, бесконечно малы при . Для решения вопроса о предел их отношения следует разделить числитель и знаменатель дроби на . Этим указанием воспользуйтесь и при решении двух следующих задач.

Ответ.

Задача 14.8

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 14.9

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ. .

Задача 14.10

Найти ( и - целые положительные числа).

Решение.

При числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю, а поэтому это функции бесконечно малы. Для решения вопроса о пределе их отношения следует числитель и знаменатель разделить на . Допустимость такого деления подробно была объяснена в задаче (14.5). Повторяем, что , стремясь к 1, не становится равным 1, а потому , и деление на имеет смысл.

Функция при не существует, но значение нашему рассмотрению не должно подлежать. Воспользуемся известной формулой алгебры

(14.4)

Полагая здесь , а , в нашем случае получим

Задача 14.11

Найти .

Решение.

При числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, а потом это функции – бесконечно малые. Чтобы можно было применить формулу (14.4), с помощью которой была решена предыдущая задача, следует сделать подстановку , где показатель степени 35 – наименьшее кратное показателей корней.

Если , то , а , и тогда

Причем , когда , и задача перепишется так:

Теперь следует разделить числитель и знаменатель дроби на применить формулу (14.3).

Ответ. .

Задача 14.12

(для самостоятельного решения). Найти:

1) ;

2) .

Ответ.

1) ;

2) .

Задача 14.13

Найти .

Решение.

При имеем

Придел числителя:

.

Предел знаменателя:

.

Теорема (14.5 п.с) о пределе дроби неприменима. Рассмотрим обратную дробь , и не предел при

(здесь теорема о пределе дроби применима, так как предел знаменателя не равен нулю). Так как предел функции равен нулю, то эта функция при бесконечно малая, а потом функция при - бесконечно большая, и тогда ее предел

(мы воспользовались теоремой 14.4 пункт (б).

Задача 14.14

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 14.15

(для самостоятельного решения). Найти

Ответ. .

Задача 14.22

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Произвести вычитание дробей.

Ответ.

Задача 14.16

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ. .

Указание. После приведения к общему знаменателю окажется, что при числитель и знаменатель - функции бесконечно малые. Воспользоваться указанным на стр. 304 правилом.

ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание. Продолжение упражнений на нахождение предела функции.

Решим несколько задач на нахождение предела дробно-рациональной функции при .

Задача 15.1

Найти .

Решение.

Для того чтобы можно было применить теорему о пределе дроби, надо, чтобы числитель и знаменатель дроби имели приделы и чтобы придел знаменателя не был равен нулю. В данном случае это теорема неприменима, так как пределы числителя и знаменателя дроби не существуют При и числитель и знаменатель дроби функции бесконечно большие (см. теоремы 14.4 о свойствах бесконечно больших функций. Рекомендуется еще раз повторить эти теоремы). Значит мы имеем дело с отношением бесконечно больших функций. Об этом отношении, так же как и об отношении двух бесконечно малых функций, ничего определенного без специального исследования сказать нельзя. Для решения задачи следует применить прием, знакомый из решения задачи 12.1 (полезно также возвратиться к задаче 12.8): дроби разделить на высшую степень , встречающуюся в членах дроби, а после этого перейти к пределу

Итак.

Так как при - величина бесконечно малая, а поэтому и - величины бесконечно малые (см. теоремы 14.4); ; , а и пределы этих величин равны нулю, когда .

После деления числителя и знаменателя на оказалось возможным применить теорему о пределе дроби, так как теперь и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не равен нулю.

Для самостоятельного решения предлагается несколько логических задач.

Задача 15.2

(для самостоятельного решения). Найти:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Ответ. 1) 5; 2)0; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 15.3

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Произвести вычитание дробей.

Ответ.

Задача 15.4

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 15.5

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ. 16.

Решение остальных задач этого практического занятия основано на применении теоремы:

При постоянном показателе степени можно переходить по пределу в основании степени при условии, что предел основания ступени существует, т.е.

(15.1)

Где - постоянная величина (для случая, когда - целое число, мы этой теоремой пользовались неоднократно, так как она прямо следует из теоремы о пределе произведения).

Из формулы (15.1) следует, что при любом нечетном всегда

(15.2)

Если же - четное число, то эта формула верна только тогда, когда функция - неотрицательна, т.е. когда .

Выполним сначала ряд простых упражнений на применение этой теоремы.

Задача 15.6

Найти:

1) ;

2) .

Решение.

На основании формулы (15.2) имеем:

1)

2)

Задача 15.7

Найти .

Решение.

Задача 15.8

Найти при нечетном

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1)

2)

Т.е. при функция бесконечно мала;

3)

Так как по результатам второго примера этой задачи при функция бесконечно мала, полому функция - бесконечно велика.

Задача 15.9

Найти .

Решение.

Когда , числитель и знаменатель имеют своим пределом нуль, а почему они бесконечно малы:

Для того, чтобы решить вопрос о пределе их отношения, перенесем иррациональность а знаменатель, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на . Будем иметь

.

Так как , не становясь равным нулю, то деление на числителя и знаменателя дроби возможно.

При решении задачи мы вместо предела функции отыскали предел функции ; здесь должен быть затронут вопрос о тождественности этих функций (подобно тому как этот вопрос возник при решении задачи 14.5). О функциях и мы можем сказать, что они тождественны .

Таким образом, замена функции при отыскании предела функцией является законной.

При отыскании предела дроби, содержащей иррациональные выражения, в большом числе случаев приходиться с помощью преобразований переходить от заданной функции к другой заданной функции, и у учащегося должен возникать вопрос о тождественности заданной функции и той, которая получается в результате преобразований. Во всех дальнейших примерах исследованием этого вопроса мы заниматься не будем, предоставляя это читателю.

Теперь, после решения этой задачи, укажем правило для решения задач, в которых требуется определить предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда ее числитель и знаменатель – бесконечно малые функции, т.е. когда из пределы равны нулю.

Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения, (приведение подобных членов, сокращение и т.д.) и перейти к пределу.

Задача 15.10

Найти .

Решение.

При числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю. Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на .

Получим

Задача 15.11

(для самостоятельного решения). Найти пределы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 15.12

Найти

Решение.

При числитель и знаменатель дроби имеет предел, равный нулю. В этой задаче придется сначала числитель и знаменатель дроби умножить на , а потом на или сразу умножить числитель и знаменатель дроби на . Используя это указание, получаем:

Задача 15.13

(для самостоятельного решения). Найти пределы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ.

1) ;

2) 0;

3) ;

4)

Указание. В третьем примере одним из множителей числителя будет . Корни этого квадратного трехчлена ; , вследствие чего .

Задача 15.14

Найти .

Решение.

Здесь и предел числителя, и предел знаменателя равен нулю. Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель. Воспользуемся известной формулой алгебры . Положим , . Значит, для того, чтобы получить в числителе разность кубов, надо его умножить на . Умножая и знаменатель на эту величину получаем

.

Задача 15.15

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 15.16

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 15.17

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 15.18

Найти .

Решение.

Здесь непосредственно теорема 4.5 не может быть применена, так как при пределы слагаемых не существуют: мы имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин, о которой ничего определенного без специального исследования сказать нельзя.

Умножим и разделим данное выражение на сопряженное с ним и получим

Так как при знаменатель дроби, стоящий под знаком предела, есть функция бесконечно большая (см. задачу 15.8(3)), а потому дробь есть величина бесконечно малая, а ее произведение на -2 есть также бесконечно малая величина.

Задача 15.19

Найти . Когда , выражение, стоящее в скобках, есть разность двух бесконечно больших величин, о которой без специального исследования нельзя сказать ничего определенного. Умножим и раздели функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряженное с , т.е. на , и получим

Так как .

Теперь рассмотрим случай, когда .Выражение, стоящее в скобках, имеет в этом случае положительное значение и неограниченно возрастает по абсолютной величине, множитель же , стоящий за скобкой, неограниченно возрастает по абсолютной величине, но сохраняет отрицательное значение Поэтому все выражение при неограниченно возрастает по абсолютной величине, сохраняя отрицательное значение и .

Задача 15.20

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

При и при искомый предел равен 0.

Задача 15.21

Найти

Решение.

1) Рассмотрим сначала случай :

Так как при , а мы рассматриваем арифметическое значение корня, то и , а потому

2) Пусть . По-прежнему , но теперь , так как , а мы рассматриваем арифметическое значение корня, и , а

Задача 15.22

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Учесть, что при имеем , а при тот же .

Ответ.

При искомый предел равен +1, а при искомый редел равен -1.

Задача 15.23

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

при ; при

Задача 15.24

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Выражение, состоящее под знаком предела, умножить и разделить на , чтобы получить в числителе разность кубов. После упрощений под знаком предела будет находится выражение

.

Знаменатель дроби представить в виде

И сократить дробь на .

Ответ 0.

Задача 15.25

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Выражение, стоящее под знаком предела, умножить и разделить на и полученную дробь сократить на .

Ответ. 0.

ШЕСНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание. Определение пределов тригонометрических функций и упражнения на использование предела .