Линейная зависимость и независимость геометрических векторов
Заметим, что в дальнейшем, не нарушая общности, будем рассматривать случай векторов в трехмерном пространстве. На плоскости рассмотрение векторов производится аналогично. Как уже отмечалось выше, все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов можно перенести на частный случай геометрических векторов. Так и поступим.
Пусть зафиксированы векторы .
Определение.Сумма , где
- некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов
. При этом указанные числа будем называть коэффициентами линейной комбинации.
Нас будет интересовать вопрос о возможности равенства линейной комбинации нулевому вектору. В соответствии со свойствами и аксиомами векторных пространств, становится очевидным, что для любой системы векторов существует тривиальный (нулевой) набор коэффициентов
, для которого это равенство выполняется:
.
Возникает вопрос о существовании для данной системы векторов нетривиального набора коэффициентов (среди которых есть хотя бы один ненулевой коэффициент), для которого выполняется упомянутое равенство. В соответствии с этим будем различать линейно зависимые и независимые системы.
Определение.Система векторов называется линейно независимой, если существует такой набор чисел
, среди которых есть хотя бы одно ненулевое, такое что соответствующая линейная комбинация равна нулевому вектору:
.
Система векторов называется линейно независимой, если равенство
возможно лишь в случае тривиального набора коэффициентов:
.
Перечислим доказываемые в курсе линейной алгебры основные свойства линейно зависимых и независимых систем.
1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.
2. Пусть в системе векторов есть линейно зависимая подсистема. Тогда и вся система также является линейно зависимой.
3. Если система векторов является линейно независимой, то любая ее подсистема также является линейно независимой.
4. Если в системе векторов есть два вектора, один из которых получается из другого умножением на некоторое число, то вся система является линейно зависимой.
Теорема (критерий линейной зависимости).Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы представим в виде линейной комбинации остальных векторов системы.
С учетом критерия коллинеарности двух векторов можно утверждать, что критерием их линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов в пространстве справедливо следующее утверждение.
Теорема (критерий линейной зависимости трех геометрических векторов).Три вектора ,
и
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство.
Необходимость.Пусть векторы ,
и
линейно зависимы. Докажем их компланарность. Тогда по общему критерию линейной зависимости алгебраических векторов утверждаем, что один из указанных векторов представим в виде линейной комбинации остальных векторов. Пусть, например,
.
Если все три вектора ,
и
приложить к общему началу
, то вектор
совпадет с диагональю параллелограмма, построенного на векторах
и
. Но это означает, что векторы
,
и
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
Достаточность.Пусть векторы ,
и
компланарны. Покажем, что они линейно зависимы. В первую очередь рассмотрим случай, когда какая-нибудь пара из указанных векторов коллинеарна. В этом случае согласно предыдущей теореме система векторов
,
,
содержит линейно зависимую подсистему и, следовательно, сама является линейно зависимой согласно свойству 2 линейно зависимых и независимых систем векторов. Пусть теперь ни одна пара рассматриваемых векторов не коллинеарна. Перенесем все три вектора на одну плоскость и приведем их к общему началу
. Проведем через конец
вектора
прямые параллельные векторам
и
. Обозначим буквой
точку пересечения прямой, параллельной вектору
, с прямой, на которой лежит вектор
, а буквой
точку пересечения прямой, параллельной вектору
, с прямой, на которой лежит вектор
. По определению суммы векторов получаем:
.
Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору
, то существует действительное число
такое, что
.
Из аналогичных соображений вытекает существование действительного числа такого, что
.
В результате будем иметь:
.
Тогда из общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов получаем, что векторы ,
,
линейно зависимы. ■
Теорема (линейная зависимость четырех векторов).Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. В первую очередь, рассмотрим случай, когда какая-нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна. В этом случае эта тройка линейно зависима в соответствии с предыдущей теоремой. Следовательно, в соответствии со свойством 2 линейно зависимых и независимых систем векторов, и вся четверка линейно зависима.
Пусть теперь среди рассматриваемых векторов никакая тройка векторов не компланарна. Приведем все четыре вектора ,
,
,
к общему началу
и проведем через конец
вектора
плоскости, параллельные плоскостям, определяемыми парами векторов
,
;
,
;
,
. Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы
,
и
, обозначим соответственно буквами
,
и
. Из определения суммы векторов следует, что
,
,
И, соответственно,
.
Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору
, то в соответствии с критерием линейной зависимости двух векторов получаем:
.
Из аналогичных соображений следует существование действительных чисел и
таких, что
,
.
В результате получаем равенство:
,
которое с учетом общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов говорит о том, что все четыре вектора линейно зависимы. ■