Кривые второго порядка

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 6).

Рисунок 6

Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую-
щий вид:

где

При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А₁(a; 0), А₂(–a; 0), В₁(0; b), В₂(0; –b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А₁А₂ = 2a, малая ось В₁В₂ = 2b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2c) между фокусами к большей оси (2a), т. е. ; очевидно, что e< 1. Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис сле-
дующие:

Пример 11. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что малая полуось равна 3 и эксцентриситет

Решение

Уравнение будем искать в виде

Из условия b = 3. Так как с одной стороны , а с другой стороны по условию то Откуда Для эллипса параметры a, b, c связаны соотношением Поэтому, подставляя значения b и c, получим уравнение

или

или

а² = 6.

Ответ:

Тест 22. Уравнение эллипса, полуоси которого равны a = 3, b = 2, имеет вид:

1)

2)

3)

Тест 23. Дано уравнение эллипса

Вычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 16; 9; 25;

2) 8; 6; 2

3) 4; 3; 1; 8.

Пример 12. Дан эллипс Написать уравнение его директрис.

Решение

Уравнения директрис следующие: . Из уравнения а² = 36,
b² = 20. Следовательно, a = 6, или с = 4. Найдем e = Подставим в уравнения

Ответ: x = ±9.

Уравнение эллипса, центр которого находится в точке (х₀; у₀), а оси симметрии параллельны осям координат, имеет вид

Тест 24. Центр эллипса находится в точке:

1) (3; 1);

2) (3; –1);

3) (10; 5);

4) (5; 10).

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 7).

Рисунок 7

Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где b² = c² – a².

Прямая, соединяющая фокусы F₁, F₂ гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы).

Гипербола имеет две действительные вершины А₁(a; 0), А₂(–a; 0) на фокальной оси; отрезок А₁А₂ = 2a называется действительной осью гиперболы, отрезок В₁В₂ = 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно.

Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид:

(2)

где

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = и при этом e > 1. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие на расстоянии, равном Уравнения директрис следующие: Асимптоты гиперболы определяются равенствами

Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2a, 2b (рисунок 7).

Пример 13.Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что:

1. Расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами – 10.

2. Действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
(9; –4).

Решение

1. Уравнение гиперболы имеет вид

Так как расстояние между вершинами равно 8, то 2a = 8 или a = 4. Учитывая, что расстояние между фокусами равно 10, имеем 2c = 10, откуда c = 5. Найдем b² из соотношения b² = c² – а², т. е. b² = 5² – 4² =
= 25 – 16 = 9.

Ответ:

2. Так как действительная ось равна 6, то 2a = 6 или a =3. Поэтому уравнение гиперболы принимает вид Поскольку гипербола проходит через точку (9; –4), то ординаты этой точки обращают уравнение в истинное равенство, т. е. или или 9 – 1 = или b² = = 2.

Ответ:

Тест 25. Уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 10 и лежит на оси ОX, а мнимая ось равна 16 и лежит на оси ОY, имеет вид:

1)

2)

3)

Тест 26. Дано уравнение гиперболы Вычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 10; 16; 2

2) 4; 5;

3) 5; 4;

Пример 14. Дана гипербола Написать уравнение ее директрис и асимптот.

Решение

Из уравнения а² = 16, b² = 25. Откуда a =4, b =5. Найдем Тогда уравнения директрис следующие: , или x = , или x =

Уравнения асимптот после подстановки a, b принимают вид y =

Ответ: x = y =

Тест 27. Указать, принадлежит ли точка (0; 2) гиперболе = 1:

1) да;

2) нет.

Уравнение гиперболы, центр которой находится в точке (х₀; у₀), действительная ось совпадает с осью ОX, мнимая – с осью ОY, имеет вид

Тест 28. Центр гиперболы находится в точке:

1) (5; 7);

2) (–5; –7);

3) (9; 16);

4) (3; 4).

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).

Рисунок 8

Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид

у² = 2рх,

где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.

Пример 15. Составить уравнение параболы, зная, что фокусы имеют координаты (0; 5), ось ординат служит осью симметрии, а вершина находится в начале координат.

Решение

Так как осью симметрии является ось ОY, то уравнение будет иметь вид х² = 2ру, так как фокус в общем случае имеет координаты , то исходя из условия имеем = 5, откуда p = 10. Таким образом, х² = 2 × 10 × у или х² = 20у – искомое уравнение.

Тест 29. В уравнении параболы у ² = 3х значение параметра p равно:

1) 3;

2) ;

3) 1;

4) 3x.

Тест 30. Среди уравнений второго порядка указать уравнение гиперболы:

1)

2)

3)

Если вершина параболы находится в точке (x₀; y₀), то ее каноническое уравнение примет следующий вид:

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Векторная алгебра

При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков.

Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Его направление будем указывать стрелкой, идущей от начала А к концу В.

Длиной (или модулем) связанного вектора называется длина отрезка АВ. Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0, его длина равна 0: он направления не имеет.

Связанные векторы и называются сонаправленными, если являются сонаправленными лучи и противоположно направленными – если противоположно направлены эти лучи.

Два ненулевых связанных вектора и назовем равными (это обозначается = ), если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества {AB, CD, MN, ¼} равных связанных векторов, например, (рисунок 9).

Рисунок 9

Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой: = а (рисунок 10).

Линейные операции над векторами

Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b.

Иногда вместо с = а+bпишут Суммой а₁ +а₂ +…
… + а_n конечного числа векторов называется такой вектор а, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов а₁, а₂,…, а_n таким образом, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Указанный вектор а направлен из начала первого вектора суммы в конец последнего (правило многоугольника) (рисунок 10).

c = a + b

Рисунок 10

На рисунке 11 изображена сумма а = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅.

Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна направление которого совпадает с направлением а, если a > 0, и противоположно направлению а, если
a < 0. По определению a а × 0 = 0 для любого a и 0 × а = 0 для любого а. На рисунке 12 изображены векторы а, 3а,–2а.

Рисунок 11

Рисунок 12

Векторы а, b, с называются коллинеарными, еслиих соответ-
ствующие связанные векторы параллельны одной и той же прямой. На рисунке 12 изображены коллинеарные векторы а, –2а, 3а.

Векторы а, b, с называют компланарными, если их соответствующие связанные векторы параллельны одной и той же плоскости (рисунок 13).

Углом jмежду векторами а и bназывается величина наименьшего угла между связанными векторами и (рисунок 14). Понятно, что 0 £ j £ 0. Если , то векторы а и b называются ортогональными (перпендикулярными, это обозначается а ^ b).

Разностью а – bназывается вектор с, равный сумме векторов а и
–1b = –b, т. е. с = а–b = а+(–b). Итак, по определению, чтобы вычесть из вектора а вектор b, необходимо к вектору а прибавить вектор –b, который называется противоположным вектору b. Из рисунка 15 следует, что если на векторах а и b, приведенных к общему началу, построить параллелограмм как на сторонах и провести диагонали, то диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов а и b,равна их сумме а + b, а другая диагональ – их разности а– b.

Рисунок 15

Данный способ нахождения суммы а+ b векторов аи b называется правилом параллелограмма.

Вектор, длина которого равна единице, будем называть единичным вектором, или ортом. Через а⁰ будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.