Равноправие строк и столбцов.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Числовые кольца и поля.

R- множество действительных чисел.

К - подмножество действительных чисел.

К называется числовым кольцом если для любых двух элементов а и b : Сумма а+b, разность a-b, произведение ab принадлежат К.

Примеры:

1) К= {0}

2) K= Q = { | m {0,+-1, +-2,...} , n {1,2,3,...}

3) K=R

4) 2Z={2*n | n Z}

Свойства числовых колец.

1)Любое числовое кольцо содержит 0.

a K , a-a= 0 K

Следствие:

Нулевое кольцо является наименьшим и содержится в любом числовом кольце.

2) Если a K, то для любого целого n: n*a K

n=0; n*a=0

n>0; n*a= a+a+a+...+a K

n<0; m=-n; n>0 n*a=-m*a= (-a)+(-a)+(-a)

Следствие

Любое ненулевое ЧК содержит бесконечное число элементов.

m*a=n*a

a 0 , если сократить на а, то m=n

Числовое поле.

Опр. Непустое множество К, являющееся не 0 числовым кольцом, называется числовым полем, если для любого a,b K: b ;

K- числовое поле a, b, a+b, a-b, ab K; a,b 0; K

Примеры числовых полей.

1) Q

2) R

3) K = {a+b |a,b Q}

1 / = a+ b

Теорема. Поле рациональных чисел Q содержится в любом числовом поле К.

Доказательство:

Так как К - это ненулевое числовое поле то есть один элемент а и а 0

n= 1+1+...+1

-n

Z

n/m n,m и m 0

Q K . Теорема доказана.

Перестановки.

Если М - конечное множество

M = {1,2,..., n}

Опр. Любое расположение чисел {1,2,...,n} в каком то порядке называется перестановкой.

M={1,2,3}

(2,1,3) , (1,2,3) , (3,2,1) , (1,3,2)

(

Теорема. Количество различных перестановок n-элемента равно n!=n(n-1)

Доказательство: Рассмотрим произвольную перестановку:

(

Количество выбора различных элементов = n, а разных способов выбора

Пара ( выбирается n(n-1) числом способов.

Опр.Говорят, что i,j образуют инверсиюесли i>j, а в перестановке (i,..., j)

(4,1,3,2): (4,1) - инверсия, (1,3) - не инверсия.

Опр.Перестановка называется четной, если количество инверсий в перестановке равно четному числу, иначе - нечетная.

Опр. Транспозицией элементов i,j называется такое преобразование перестановки при котором i,j меняются местами.

Теорема. При транспозиции перестановка меняет свою четность на противоположную.

Доказательство.

1 случай.

Пусть i,j - соседние элементы перестановки

(.....i,j.....)

(....,j,i.....)

Пары, которые не содержат i,j :

( - такие пары в 1 и 2 перестановке одинаковы.

( - где один элемент равен i

( останутся одинаковыми для 1 и 2 перестановки, аналогично пары содержащие элемент j

В первой (i;j)

Во второй (j;i)

S - количество инверсий в парах отличных от пары (i,j).

Пусть i,j образуют инверсию, тогда i,j - не является инверсией => в 1 перестановке число инверсий S+1 , а во второй S. Чтд.

2 случай.

Лень писать все формулы, смотрите в тетради.

Пусть i,j не соседние

Каждый раз меняется четность, т.к. количество смен четности - нечетное число, то первая и последняя перестановки имеют разную четность.

Следствие. Число четных и нечетных перестановок одинаковое число

Док-во писать лень.

Матрицы и определители.

Квадратной матрицейпорядка n называется таблица чисел, записанная в n строк и n столбцов.

Опр. Транспонированием матрицы А называется такое преобразование при котором строчки располагаются в столбцы.

Опр. Определителем n-ного порядка, соответствующего квадратной матрице А называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждый из которых состоит из произвольных n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и столбца, взятых со знаком + если перестановка вторых индексов является четной, и со знаком -, если нечетной, при условии что первый индекс располагается в естественном порядке.

Свойства определителя.

Равноправие строк и столбцов.

Величина определителя не меняется при транспонировании.

Если определитель обладает свойством относительно строчек, то он обладает тем же свойством относительно столбцов.

2) Переменность: Если поменять 2 строки местами, то знак меняется на противоположный.

3) Еслив определителе две строчки равны то такой определитель равен нулю.

4) Однородность:Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

5) Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6)Пропорциональность: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю

7)Аддитивность:Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Свойство 7 верно если число строчек больше двух.

Опр.i-строка определителя является линейной комбинацией остальных её строк если существуют такие константы что i-строчка равняется сумме:

(i)=

8) Если одна из строк определителя является линейной комбинацией других его строк, то такой определитель равен нулю.

9) Величина определителя не изменится если к некоторой строчке прибавить другую строчку умноженную на константу.