Краткие теоретические сведения. Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и разложение сигнала по ортонормальным системам функций

Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и разложение сигнала по ортонормальным системам функций

Методические указания к выполнению лабораторных работ
по курсу «Введение в теорию сигналов» для студентов
направления 230401,квалификации 23040165
«Инженер-математик»

Ульяновск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы.. 3

2. Краткие теоретические сведения. 3

3. Задание на лабораторную работу. 19

4. Содержание отчета. 21

5. Список контрольных вопросов. 21

1. Цель работы

Основной целью лабораторной работы является изучение способов ортогонализации и ортонормированных систем функций, аппроксимация заданного сигнала с помощью ортонормированных функций и изучение влияния количества членов ряда на качество аппроксимации сигнала.

Краткие теоретические сведения

При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство , в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций , в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций , т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

Система ортогональных функций на интервале будет ортонормальной, если все функции системы при имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормальную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд

Произвольный сигнал (пространство Гильберта), заданный на интервале , может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций :

. (1)

Для нахождения значений коэффициентов умножим обе части данного выражения на базисную функцию с произвольным номером и проинтегрируем результаты по переменной , при этом получим:

С учетом ортонормальности функций , в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером при , который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление:

. (2)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты представляют собой проекции вектор - сигнала на соответствующие базисные направления , т.е. координаты вектора по координатному базису, образованному системой ортогональных функций , в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (1) ограничивается определенным значением , при этом для любого значения совокупность коэффициентов обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Используя понятия, введенные ранее, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т.е. временной функции (возможно, комплексной) ее численного представления. Задача сводится к нахождению подходящего отображения пространства в пространство , причем обычно выбирается компромиссно, с учетом точности и экономичности представления. Поскольку число измерений пространства бесконечно, а конечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразумевает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из не может иметь представления в , отличного от представления всех других сигналов. К таким изображениям естественно подходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем пространство на множества эквивалентности, каждому из которых взаимнооднозначно соответствует некоторая точка в .

Обычный подход к этой задаче состоит в выборе некоторого - мерного подпространства из . Пусть есть система линейно независимых функций в , так что при условие

выполняется почти всюду в том и только в том случае, если при всех .

Обозначим через линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит , то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации :

и набор чисел (вектор - строка) образует искомое представление в . Поскольку есть пространство со скалярным произведением

то отношение между и может быть выражено в матричной форме:

или

где .

Применяя другую запись, введем в взаимные базисные функции , которые могут быть представлены в виде линейной комбинации ;

причем

или в матричной форме

Используя взаимный базис, можно теперь написать

При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом, для того, чтобы обратить особое внимание на некоторый участок области определения функции.

– удовлетворяет условиям скалярного произведения, где - вещественная неотрицательная функция, определенная на интервале . А система функций – ортонормальна с весом , если

При этом базисные функции претерпевают небольшие изменения:

где – ортонормальны в обычном смысле, а – с весом .

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

-для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

-при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

-базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

-коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта

Важное значение имеет построение ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых способов при этом является так называемый рекуррентный способ ортогонализации Грама-Шмидта, который заключается в следующем.

Пусть в задана система линейно независимых векторов. Тогда система ортонормальных векторов получается путем нормализации вспомогательных векторов по следующему правилу:

, ,

. . . . . . .

, .

Заметим, что если функции переставить местами, то получим другую, но тоже ортонормальную систему.

Рассмотрим пример. Применим процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций , определенных на отрезке . В этом случае .

, , ,

. . . . . . .

Разложение сигнала по ортонормальным системам функций

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал , имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале , может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов.

Рассмотрим примеры наиболее употребляемых ортонормированных систем функций, используемых для представления сигналов с заданными областью определения и весовой функцией .

1. Комплексные гармонические функции

Для комплексных гармонических функций и , функции уже ортогональны, следовательно, для получения ортонормальной системы их нужно нормировать, то есть поделить на норму соответствующей функции ряда. Найдем эту норму

Разложение

где

это представление рядом Фурье функций, которые ограниченных на отрезке , а также периодических с периодом, равным . Однако, это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, который можно привести к интервалу выбором подходящего масштаба по оси времени.

Рассмотрим пример. Пусть требуется с помощью гармонических функций представить сигнал, приведенный на рис. 1.(в дальнейшем будем рассматривать заданный сигнал).

Рис. 1.

Задан трапецевидный сигнал на интервале (рис. 1):

Необходимо представить его рядом комплексных гармонических функций, то есть в виде

Комплексные гармонические функции определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в раза, а затем произведем сдвиг на влево. Новый сигнал будет описываться формулой (рис. 2).

Рис. 2.

Коэффициенты разложения найдем по формуле

Затем переходим к исходному масштабу и получаем аппроксимированный исходный сигнал. Графики для различных приведены на рис. 3.

Рис. 3.

Найдем квадратическое отклонение исходного сигнала от его приближения:

для ;

для .

Найдем максимальную ошибку приближения: . Для этого построим графики функции для и (рис.4).

Рис. 4.

Из графиков видно, что:

для и достигается при ;

для и достигается при .

2. Полиномы Лежандра

Для и можно получить другую ортонормальную систему, применив процедуру Грамма-Шмидта к последовательности . В результате получаются нормированные полиномы:

где - полиномы Лежандра. Эти полиномы можно также считать по формуле

или по рекуррентной формуле

Полином имеет нулей, все они вещественны и находятся в интервале .

Разложим рассмотренный выше сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле

Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 5.

Рис. 5.

3. Полиномы Чебышева

Для и полиномы , образуют ортонормальную систему, где - полиномы Чебышева, заданные следующим образом:

Для удовлетворяют рекуррентной формуле

Свойствополиномов Чебышева: из всех полиномов -ой степени, имеющих коэффициент при , равный 1, на интервале наименее отклоняются от нуля.

Без весовой функции (рис. 6)

Рис. 6.

С весовой функции (рис. 7)

Рис. 7.

4. Функции Лагерра

Для и полиномы

образуют ортонормальную систему. Здесь - полиномы Лагерра, задаваемые формулой

Они имеют вещественных нулей на и удовлетворяют рекуррентному соотношению

Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на

Разложим рассматриваемый нами сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле

Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 8.

Рис. 8.

Они также могут быть получены применением процедуры Грамма-Шмидта к последовательности . Функции Лагерра могут быть реализованы практически как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка. Для этого их записывают как

Функции имеют преобразование Лапласа вида

откуда видно, что -ая функция Лагерра - это импульсная реакция цепи, один каскад которой имеет передаточную функцию , а последующих одинаковы с функцией , т. е. это фазовращатели, не изменяющик энергию сигнала. Это так называемый «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лaгерра.

5. Функции Лежандра

Подстановка преобразует интервал для величины в интервал для величины , поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на ( - произвольный действительный положительный параметр). Функции Лежандра

образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при

Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 9. При этом параметр подбирается произвольно в зависимости от исходного сигнала.

Рис. 9.

6. Функции Чебышева

Преобразованием Чебышева получаем функции

которые ортонормальны с весом на . Полюсы преобразования Лапласа получаются при

Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 10

Рис. 10.

7. Функции Эрмита

Для и полиномы

образуют ортонормальную систему. - полиномы Эрмита, которые задаются в виде

или рекуррентной формулой

Функций Эрмита

ортонормальны с единичным весом на и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности .

Разложим рассматриваемый нами сигнал. Исходный сигнал можно предварительно задать на интервале (рис. 11).

Рис. 11.

Коэффициенты разложения найдем по формуле

Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 12.

Рис. 12.

8. Функции Уолша

Для и можно построить полную ортонормальную систему функций типа «прямоугольных волн». Каждая -ая функция содержит прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса:

Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимают лишь два значения ( или ). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции так, чтобы -ая функция раз пересекала нулевой уровень на интервале (т.е. раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:

где (рис. 13).

Рис. 13.

Функции Уолша определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в . Новый сигнал будет описываться формулой (рис. 14).

Рис. 14.

Коэффициенты разложения найдем по формуле

Графики для различных приведены на рис. 15.

Рис. 15.

Задание на лабораторную работу

1. Применить процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций (см. Таблица 2), определенных на интервале , построить графики.

2. Аппроксимировать заданный в лабораторной работе №1 сигнал (см. Таблица 1) с помощью ортонормальных функций (см. Таблица 2).

3. Найти квадратическое отклонение сигнала от его аппроксимации и максимальную ошибку приближения.

4. Изучить влияние количества членов ряда на качество аппроксимации и сделать выводы о проделанной работе.

Таблица 1.

№ вар.

1.5

0.6

1.8

0.5

1.5

1.2

Таблица 2.

№ вар.	Система функций	№ вар.	Система функций
	Комплексные гармонические функции		Функции Уолша
	Полиномы Лежандра		Комплексные гармонические функции
	Полиномы Чебышева		Полиномы Лежандра
	Функции Лагерра		Полиномы Чебышева
	Функции Лежандра		Функции Лагерра
	Функции Чебышева		Функции Лежандра
	Функции Эрмита		Функции Эрмита
	Функции Уолша		Функции Уолша
	Комплексные гармонические функции		Комплексные гармонические функции
	Полиномы Лежандра		Полиномы Лежандра
	Полиномы Чебышева		Полиномы Чебышева
	Функции Лагерра		Функции Лагерра
	Функции Лежандра		Функции Лежандра
	Функции Эрмита		Функции Эрмита