45. Теорема Коши. Пусть даны две функции и такие, что: и определены и непрерывны на отрезке ; производные и конечны на интервале производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале ; тогда , где Доказательство Для доказательства введём функцию Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу. | 46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0 Точная формулировка Условия: или ; и дифференцируемы в проколотой окрестности ; в проколотой окрестности ; существует , тогда существует . Пределы также могут быть односторонними. Отношение бесконечно малых Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ). Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим: , но f(a) = g(a) = 0, поэтому . Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим: для конечного предела и для бесконечного, что является определением предела отношения функций. | 47. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности ∞/∞ Точная формулировка Условия: или ; и дифференцируемы в проколотой окрестности ; в проколотой окрестности ; существует , Докажем теорему для неопределённостей вида . Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие: . Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка : , что можно привести к следующему виду: . Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α: . Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному ε можно найти такое ε1, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A. Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то . В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда . |