Порядок вычислений по формуле Мора

1. От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр NР и MP;

2. В искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения – сосредоточенная сила Р1=1, для угла поворота сечения – сосредоточенный момент m1=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулами для N1 и М1, по которым строятся эпюры и ;

3. Искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.7), что на практике сводится к перемножению эпюр: N1 на NP и эпюр: М1 на МР для каждого стержня и суммированием результатов;

4. Если в результате вычислений получиться Δ> 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

В формуле (14.7): Е – модуль упругости материала стержней, А и J – площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.7) используется лишь одно слагаемое:

В фермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие, оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры и постоянны по длине стержней, то

. (14.8)

Здесь n – число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому с достаточной точностью в (14.7) можно оставить только второе слагаемое

. (14.9)

Правило Верещагина

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

а) .
б)     Трапецию надо разбить на 2 фигуры: треугольник и прямоугольник:
с)   Верхнюю эпюру с переменными знаками представляют в виде суммы двух треугольников (пунктир) с разными знаками:
d)   Эпюры ограничены параболой n-ой степени. Эти эпюры лучше принимать за первые и для них определять А и : A1= ,   A2= .
     

Рис.14.2

Определение перемещений в статически

Определимых конструкциях методом сил

Пример 14.1.

Рис.14.3.

У рамы на рис. 14.3а найти вертикальное перемещение т.С от заданной нагрузки q.

Порядок расчета:

1. Строим эпюры МРi от нагрузки q для каждого i-го участка:

I участок 0 ≤ S1 ≤ а, .

Считаем: , ; , ; , .

По этим данным строим эпюру МР1 на рис. 14.4.

II участок 0 ≤ S2 ≤ a .

Строим эпюру МР2.

2. По условию задачи надо найти вертикальное перемещение т.С рамы, поэтому в этой точке прикладываем вертикальную силу Р1=1. Например, вверх на рис. 14.3в.

От этой единичной силы строим эпюры для всех участков рамы:

I участок 0 ≤ S1≤ a, М111S1, считаем:

II участок 0 ≤ S2≤ a, М121a = a – const.

По этим данным строим эпюры на рис. 14.4.

Рис.14.4

3. Перемножаем эпюры и эпюры , как показано на рис. 14.2, на каждом i-м участке рамы:

  Здесь А1 и ZC1 находим из рис. 14.2d для квадратной параболы n = 2. . У1 найдем из пропорций для нижнего треугольника: , ,
  ,  

4. Перемещение т. С ΔС найдем по (14.19) суммированием чисел В и К:

Здесь - изгибная жесткость участков рамы.

Получили ΔС < 0, это означает, что т.С переместится в направлении, противоположном направлению приложенной силы Р1=1 (вверх). Точка С переместится вниз.

Если для рамы на рис.14.3а надо определить горизонтальное перемещение т.С, то в т.С прикладываем горизонтальную силу Р1=1. Если надо найти угол поворота сечения в т.С, то в ней прикладываем единичный момент m1=1. От них и строятся эпюры , а эпюры от нагрузки q не меняются.

Пример 14.2

Рассмотрим ферму, показанную на рис.13.1. Как показано выше в § 13.2, чтобы эта ферма была геометрически неизменяема, в опоре В опорный стержень надо расположить горизонтально, при этом ферма будет статически определима.

Для такой фермы надо определить вертикальное перемещение узла С от действия нагрузок F в узлах С и D.

Порядок расчета:

1) для заданной фермы от заданных нагрузок из обычных уравнений статики для всей фермы находим три опорных реакции RA, HA и HB;

2) методом вырезания узлов или методом сечений находим продольные усилия NРi во всех iх стержнях фермы от заданных нагрузок F;

3) убираем силы F в узлах С и D, а в узле С прикладываем по направлению искомого перемещения вертикальную силу Р=1 (например вниз). От этой единичной силы Р=1 снова определяем все опорные реакции , , и далее находим продольные усилия во всех ix стержнях фермы;

4) искомое перемещение ΔС найдем по формуле (14.8)

i=1,2,… 9- число стержней.

Здесь: E – продольный модуль упругости материала стержней;

- площади поперечных сечений и длины всех стержней;

Суммирование надо вести по всем девяти стержням фермы.

Аналогично можно найти перемещение любого узла фермы (вертикальное или горизонтальное), прикладывая в этом узле силу Р=1 по направлению искомого перемещения и определяя от нее усилия . А усилия от внешней нагрузки не меняются.

Пример 14.3. Для балки, показанной на рис.14.5а, найти вертикальные перемещения сечений в т.К и т.D от заданной нагрузки F способом Мора.

Эп.М1 (от P1=1)

Рис.14.5

Решение:

1) Сначала рассмотрим балку с заданной нагрузкой F. Очевидно, что реакции в опорах . Эпюра изгибающих моментов от этой нагрузки Мр (от F) показана на рис.14.5а.

2) Найдем вертикальное перемещение сечения в т.К. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р=1. Эпюра М1 (от Р=1) показана на рис.14.5b.

Перемещение т.К обозначим VK, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру Мр и эпюру М1 по правилу Верещагина.

Каждая из этих эпюр состоит из двух одинаковых треугольников, поэтому после перемножения этих треугольников эпюр результат надо удвоить:

,

где .

3. Найдем вертикальное перемещение сечения балки в т.D. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р1 =1 (рис.14.5с). Эпюра М1 (от Р1=1) показана на этом же рис.14.5с. Перемещение т. D обозначим VD, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру Мр (от F) рис.14.5а и эпюру М1 (от Р1=1) рис.14.5с по правилу Верещагина. Площадь эпюры Мр . Ее центр тяжести находится под т.К, а ордината у2 на эпюре М1 (рис.14.5с) под этой точкой . На участке ВD балки эпюра Мр=0, поэтому перемножение эпюр Мр и М1 дает ноль.

Итак .

Величина VD получилась отрицательной, это значит, что прогиб в сечении D будет направлен вверх, противоположно приложенной силе Р1=1 на рис.14.5с.

Аналогично можно найти углы поворота сечений q, прикладывая в этих сечениях локальные единичные моменты m1=1 и строя от них эпюры М1. А эпюра Мр при этом не меняется.

Расчет статически неопределимых ферм и рам более сложен и подробно рассматривается в курсе «Строительная механика стержневых конструкций».

Наши рекомендации