Дифференциальные уравнения второго порядка

С постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

(4.12)

где - некоторые действительные числа, - некоторая функция. Мы будем рассматривать однородные уравнения ( ), т. е. уравнения вида

(4.13)

v Рассмотрим решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем его характеристическое уравнение:

.

Находим его корни. При этом, если:

1. Корни вещественные различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(4.14)

2. Корни вещественные кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(4.15)

3. Корни комплексные, т.е. , то общее решение имеет вид:

(4.16)

Пример.

.

Решение.

Запишем и решим характеристическое уравнение:

,

, .

Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Пример.

Решение.

,

,

- корни кратные, вещественные,

- общее решение.

Пример.

.

Решение.

,

,

- корни комплексные,

- общее решение.

V. Числовые ряды

Основные понятия

Определение 1.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел , тогда выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Определение 2.

Ряд называется сходящимся, если сумма его первых членов при стремится к конечному пределу : . Число называется суммой сходящегося ряда. Ряд не сходящийся называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е.

.

Следствие

Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Замечание

Выполнение необходимого признака сходимости не говорит о том, что ряд сходится. Это следует показать с помощью одного из достаточных признаков.

Достаточные признаки сходимости

v Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами отношение -го члена к -му при имеет предел , т.е.

,

то:

1) ряд сходится в случае ,

2) ряд расходится в случае ,

3) вопрос остается нерешенным в случае .

Пример.

Исследовать сходимость ряда .

Решение:

, .

Тогда:

;

таким образом, данный ряд сходится.

v Радикальный признак Коши

Если для ряда с положительными членами:

,

величина при имеет предел , т.е.:

,

то:

1) ряд сходится в случае ;

2) ряд расходится в случае ;

3) вопрос остается нерешенным в случае .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

,

тогда:

.

Таким образом, ряд расходится.

v Интегральный признак сходимости ряда

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, а – такая непрерывная не возрастающая функция, что:

.

Тогда:

1) ряд сходится, если несобственный интеграл сходится (равен конечному числу);

2) ряд расходится, если несобственный интеграл расходится, т.е. равен , или он не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Пример.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим интегральный признак, положив . Эта функция удовлетворяет всем условиям признака.

Рассмотрим интеграл.

т.е. для случая .

интеграл сходится ряд сходится.

Для случая интеграл расходится ряд расходится.

v Сравнение рядов с положительными членами

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(5.1)

, (5.2)

тогда:

1) если и ряд (5.2) сходится, то и ряд (5.1) является сходящимся;

2) если и ряд (5.2) расходится, то расходится и ряд (5.1).

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Сравним данный ряд с рядом , члены которого, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда равна , т.е. он сходящийся. Каждый член исходного ряда меньше соответствующих членов ряда .

Таким образом, исходный ряд сходится, причем его сумма не превосходит .

v Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Если в знакочередующемся ряде:

,

члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

1) – каждый член ряда по модулю меньше предыдущего;

2) , т.о. по признаку Лейбница ряд сходится.