Метод комплексных амплитуд

Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии

Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздействием x(t) = X_m cos(w₀t – j₀). Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений y_i, имеет вид

,

где f_i(t) – линейная комбинация функции x(t), описывающей внешнее воздействие, и ее производных. Значение n характеризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу независимых реактивностей (емкостей и индуктивностей).

Любые линейные операции над гармонической функцией (сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование) приводят к гармонической функции той же частоты, отличающейся только амплитудой и начальной фазой. Поэтому в установившемся режиме f_i(t) имеет вид

.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что в этом случае имеется единственное периодическое решение

.

Следовательно, в установившемся режиме задача анализа сводится к определению амплитуд и начальных фаз интересующих токов и напряжений.

Метод комплексных амплитуд

В линейных цепях при гармоническом воздействии установившиеся напряжения и токи являются гармоническими функциями времени. Воздействие x(t) и отклик y(t) можно представить в комплексном виде:

,

.

Параметр цепи – отношение отклика к воздействию – не зависит от времени:

.

Поэтому при гармоническом воздействии в установившемся режиме токи и напряжения можно представлять их комплексными амплитудами, а параметры элементов комплексными сопротивлениями или проводимостями.

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен символический метод комплексных амплитуд (МКА).

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 3.2.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = X_m cos(w₀t + j_x) ® X_m = X_m e ^jjx.

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e^–jjy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y_m =Y_m e ^–jjy ® y(t) = Y_m cos(w₀t – j_y).