Методические указания
При наличии упомянутой ранее пружины
, где
– прогиб балки, лежащей на жестких опорах, в том сечении, где приложена сила Q (при статическом действии этой силы);
осадка пружины от реакции, возникающей от силыQ;
– коэффициент, устанавливающий зависимость между осадкой пружины и перемещением точки приложения силыQ , вызванным поворотом всей балки вокруг центра шарнира левой опоры как жесткого целого (коэффициент
находят из подобия треугольников).
Пример 11: На двутавровую балку (№ 24, Wx = 289 см3, Ix = 3460 см4, l = 4м), свободно лежащую на двух жестких опорах (рис. 11, а), с высотыh = 11 см падает груз Q = 600 Н. Найти наибольшее нормальное напряжение в балке; решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна a =
м/кН.
Рис. 11, а
Решение:
1. Определим прогиб балки в точке удара (в точке С) при статическом действии силы Q. Предварительно покажем единичное состояние, построим эпюру изгибающих моментов
(рис.14, б) и вычислим перемещение
от единичной силыпо формуле трапеций:
Эпюра |
Рис. 11, б
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-25.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-26.png)
2. Определим динамический коэффициент:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-27.png)
3. Вычислим наибольшие нормальные напряжения в балке при статическом нагружении:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-28.png)
4. Наибольшие нормальные напряжения в балке при ударе
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-29.png)
5. Определим напряжения в балке при ударе, если правая опора заменена пружиной (рис.11, в). Предварительно рассмотрим статическое нагружение.
Осадка опоры В
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-32.png)
Перемещение точки С, вызванное осадкой опоры В:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-33.png)
Полное перемещение точки С (с учетом осадки опоры В и прогиба балки)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-34.png)
Динамический коэффициент
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-35.png)
Наибольшие нормальные напряжения в балке при ударе
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-36.png)
Вывод: после замены жесткой опоры пружиной напряжения в балке при ударе уменьшились в
92,2 / 9,64 = 9,56раз.
Задача 12
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Задание. Для балки, изображенной на рис. 12, требуется: построить эпюры Q и M; выполнить статическую и кинематическую проверку; подобрать двутавровое сечение. Данные взять из табл. 12. Принять EJ= const.
Рис. 12
Таблица 12
№ строки | № схемы | a, м | b, м | c, м | M , кН × м | q , кН/м | P , кН |
| | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 |
| | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 | 1,2 |
| | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 | 1,3 |
| | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,4 |
| | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
| | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,6 |
| | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
| | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,8 |
| | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,9 |
| | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 |
| е | а | б | в | г | д | е |
Методические указания
При решении задачи использовать метод сил. Для вычисления перемещений применять формулы сокращенного перемножения эпюр.
Пример 15: Для балки (рис. 12, а) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M; выполнить статическую и кинематическую проверку; подобрать двутавровое сечение. Допускаемое напряжение ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-37.png)
Решение:
1. Находим степень статической неопределимости (число опорных связей минус три) n = 4 – 3=1.
2. Выбираем основную систему в виде балки на двух шарнирных опорах (рис. 12, б).
3. Показываем эквивалентную систему (рис. 12, в).
4. Составляем каноническое уравнение по методу сил:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-39.png)
5. Для определения перемещений
и
предварительно построим эпюры изгибающих моментов в основной системе при единичном и грузовом состоянии. Перемещения будем искать по формулам перемножения эпюр. Для участков с распределённой нагрузкой необходимо знать моменты на концах и в серединах участков, для участков без распределённой нагрузки достаточно вычислить моменты на концах. Рассмотрим единичное состояние (рис. 12, г). Все размеры даны в метрах.
Эпюра |
Определяем реакции опор:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-47.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-50.png)
Проверка:
–0,5437+1 – 0,4563=1 – 1=0.
Реакции опор найдены верно.
Вычисляем значения
в сечениях балки:
● точкаA: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-54.png)
● точкаT: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-55.png)
● точкаB: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-56.png)
● точкаK: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-57.png)
● точкаD: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-58.png)
●точкаR: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-59.png)
●точкаC: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-60.png)
По найденным значениям строим эпюру
(рис. 12, г).
Рассмотрим грузовое состояние основной системы (рис. 12д).
Эпюра |
Определяем реакции опор:
; ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-64.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-65.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-66.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-68.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-69.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-70.png)
Проверка:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-72.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-73.png)
Реакции опор найдены верно.
Вычисляем значения моментов Mpв сечениях:
●точка A: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-74.png)
●точка T: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-75.png)
●точкаB: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-76.png)
●точка K: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-77.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-78.png)
●слева от точкиD:
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-79.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-80.png)
●справа от точкиD: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-81.png)
●точкаR: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-82.png)
●точкаC: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-83.png)
По найденным значениям строим эпюру Mp(рис. 12, д).
Умножаем эпюру
саму на себя: ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-85.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-86.png)
Перемножаем эпюры
и Mp; ![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-88.png)
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-92.png)
Из уравнения
находим Х1 :
![Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница Тема 11.Динамическая нагрузка 6 страница - student2.ru](/images/matematika/tema-11-dinamicheskaya-nagruzka-6-stranica-424471-94.png)
Строим исправленную эпюру
(рис. 12, е). Для этого все значения эпюры
(рис. 12, г) умножаем на
.
Строим окончательную эпюру моментов M(рис. 12, е). Для этого складываем эпюры
и
.
Кинематическая проверка:
+
.
Эпюра |
Эпюра |
Эпюра |