Примеры выполнения задания.
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования «Санкт-
Петербургский государственный морской технический
Университет» в г. Северодвинске
Курзанова Е.В.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки
Северодвинск
УДК 531
Теоретическая механика. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил»/Сост. Е.В.Курзанова
Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2008 - с.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».
Методические указания по теоретической механике, раздел «Динамика», разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил». Указания содержат план решения расчетно-графической работы, расчетные схемы, варианты заданий, пример решения.
Рецензенты:
доцент кафедры № 3, к.т.н. Д.В.Кузьмин,
ст. преподаватель кафедры № 3 Л.А.Ковалев.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.
© Севмашвтуз, 2008
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие…………………………………………………………………….4
1. Задание……………………..………………………………………………….5
2. План выполнения работы……………………………………………….…5
3. Расчетные схемы и варианты задания…………………………..……….7
4. Примеры выполнения работы……………………………………………..11
5. Вопросы для защиты расчетно-графической работы…….…………….22
6. Список литературы……………………………………………………….…23
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки содержат план выполнения работы, расчетные схемы и варианты заданий, примеры решения, вопросы для защиты.
Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении работы и проверка качества знаний при защите работы.
Задание.
Необходимо найти неизвестные с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил.
План выполнения работы.
2.1. Записать исходные данные (выбрать согласно порядковому номеру в журнале).
2.2. Вычертить расчетную схему. Формой и размерами движущегося тела можно пренебречь, приняв его за материальную точку.
2.3. Изобразить действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести ; силу
, если она дана; силы реакции связей (сила
- нормальная реакция опорной поверхности, сила трения
, направленная в сторону, противоположную движению).
2.4. Разделить задачу на две части:
· движение точки в системе координат , время движения по участку
обозначается
;
· движение точки в системе координат , время движения в данной системе обозначается Т (движение из точки В в точку С).
2.5. Записать второй основной закон Ньютона в векторной форме: или
Затем спроецировать на координатные оси.
В осях y1Ax1 уравнений будет два
Произведение массы на вторую производную от расстояния по времени (ускорение) равно сумме проекций всех действующих сил на соответствующую координатную ось.
Из уравнения (2) следует найти N – нормальную реакцию опорной поверхности. Так как , это значит, что сумма проекций всех действующих сил на ось Ay1 равна 0 (условие равновесия).
В случае движения по горизонтальной поверхности получится .
В случае движения по наклонной поверхности получится , где
- угол наклона поверхности.
Исходных уравнений будет четыре:
(1)
(2)
(3) на ось Вх
(4) на ось Ву
2.6. Каждое из исходных уравнений необходимо разделить на массу (левую и правую часть). Дифференциальные уравнения необходимо дополнить начальными условиями и свести задачу динамики к решению математической задачи (к задаче Коши).
2.7. а) Рассмотрим движение точки на участке АВ. Записываем дифференциальные уравнения (1) и (2) и начальные условия. Получаем математическую задачу. Интегрируем дифференциальные уравнения и определяем константы интегрирования. Получаем выражение для скорости и расстояние
б) Подставляем и получаем 2 алгебраических уравнения. Эти уравнения позволяют найти две неизвестные.
в) Рассматриваем движение на участке ВС. Записываем дифференциальные уравнения (3) и (4) и начальные условия, интегрируем и получаем выражения для скорости и
; и расстояния
и
.
г) Подставляем и получаем четыре алгебраических уравнения для нахождения четырех неизвестных.
д) Постоянные интегрирования находим с помощью начальных условий. Все нечетные постоянные интегрирования будут равны проекциям начальных скоростей на соответствующие координатные оси:
- проекция скорости на ось Ах1
- проекция скорости на ось Вх
- проекция скорости на ось Ву
В случае совпадения оси Ах1 с осью Вх
Все четные постоянные интегрирования будут соответствовать началу координат и
и будут равны 0
2.8. После определения постоянных интегрирования и получения:
· уравнения, связывающего скорость в со скоростью в
,
· уравнения для определения длины участка ,
· уравнения для определения ширины участка ,
· уравнения для определения высоты участка
можно приступить к вычислению своего варианта задания и к нахождению неизвестных.
Расчетные схемы и варианты задания.
Варианты 1-5 (Рис. 1, схема 1).
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение, в течение
сек. Его начальная скорость
. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью
в точки С плоскости BD, наклонённой под углом
к горизонту, находясь в воздухе T сек.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивлением воздуха не учитывать.
Вариант 1. Дано: ;
; f=0,2; l=10 м;
.
Определить и h.
Вариант 2. Дано: ;
м/сек; f=0,2; h=4 м;
.
Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.
Вариант 3. Дано: ;
,5 м/сек; f¹0; l=8 м; d=10 м;
.
Определить и
.
Вариант 4. Дано: ;
с; f=0; l=9.8 м;
.
Определить и Т.
Вариант 5. Дано: ;
;
cек; l=9.8 м;
.
Определить f и .
Варианты 6-10 (Рис.1, схема 2).
Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклонённого под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью
. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется
сек; в точке В со скоростью
он покидает трамплин. Через Т сек лыжник приземляется со скоростью
в точке С горы, составляющей угол
с горизонтом.
При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 6. Дано ;
сек; f=0,1; h=40 м;
.
Определить l и .
Вариант 7. Дано: ;
м/сек; f=0,1; l=5 м;
.
Определить и Т.
Вариант 8. Дано: м/сек; f=0;
сек;
м/сек;
.
Определить и d.
Вариант 9. Дано: ;
сек; f=0,1; h=30
м;
.
Определить и
.
Вариант 10. Дано: ;
м/сек; d=50 м; f=0;
.
Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.
Варианты 11-15 (Рис. 1, схема 3).
Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается
сек по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол
. При постоянной на всём участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретаем скорость
и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью
. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движения.
Вариант 11. Дано: ; Р¹0; l=40 м;
;
м/сек; d=3 м.
Определить и h.
Вариант 12. Дано: ; Р=0;
м/сек; h=1.5 м; l=40 м.
Определить и d.
Вариант 13. Дано: ; m=400 кг;
;
сек; d=3 м; h=1,5 м.
Определить Р и l.
Вариант 14. Дано: ; m=400 кг; Р=2,2 кН;
; d=5; l=40 м.
Определить и
.
Вариант 15. Дано: ;
; Р=2 кН; h=2 м; l=50 м; d=4 м.
Определить Т и m.
Варианты 16-20 (Рис. 1, схема 4).
Камень скользит в течение сек по участку АВ откоса, составляющего угол
с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость
. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость
, камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано: ;
м/сек; f=0,2; l=3 м; d=2,5 м.
Определить h и Т.
Вариант 17. Дано: ;
; h=6 м;
сек; l=6 м.
Определить d и f.
Вариант 18. Дано: ;
; f=0,1; l=2 м; d=3 м.
Определить h и .
Вариант 19. Дано: ;
м/сек; f≠0; l=3 м; d=2м;
сек.
Определить и h.
Вариант 20. Дано: ;
; f=0,3; h=4 м; d=2 м.
Определить l и .
Варианты 21-25 (Рис. 1, схема 5).
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость
.Коэффициент трения скольжения равен f. Через
сек тело в точке В со скоростью
покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью
; при \том оно находиться в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 21. Дано: ;
м/сек; f=0,1; h=10 м;
сек.
Определить и d.
Вариант 22. Дано: ;
; l=10 м;
сек.
Определить f и уравнение траектории на участке ВС.
Вариант 23. Дано: ; f=0; l=9,81 м; h=20 м;
сек.
Определить и Т.
Вариант 24. Дано: ;
; f=0,2; l=10 м; d=12 м.
Определить и h.
Вариант 25. Дано: ;
; f=0,2; l=6 м; h=4,5 м.
Определить и
.
Варианты 26-30 (Рис. 1, схема 6).
Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длинной l в течение
сек. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью
тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью
, находясь в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано: м/сек; f=0,2; l=8 м; h=20 м.
Определить d и .
Вариант 27. Дано: м/сек; f=0,1;
сек; d=2 м.
Определить и h.
Вариант 28. Дано: м/сек; f=0,3; l=3 м; h=5 м.
Определить и Т.
Вариант 29. Дано: м/сек;
м/сек; l=2,5 м; h=20 м.
Определить f и d.
Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4 м; h=5 м d=3 м.
Определить и
.
Рис. 1
Примеры выполнения задания.
4.1. Пример 1.
Имея в точке А скорость vA мотоцикл поднимается τ секунд по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость vВ и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью vС. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.
Рис. 2
Дано: α=30°; vA=0; Р=2 кН; d=4 м; h=1,5 м; l=40 м
Определить: Т и m .
Решение.
Изображаем действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести , силу
; силы реакции связей – сила
- нормальная реакция опорной поверхности.
, т.к. задано в условии не учитывать сил сопротивления движению.
Рассмотрим движение на участке АВ. Система координат y1Аx1, время движения в данной системе – τ (с).
Записываем второй закон Ньютона в векторной форме: .
Проецируем на координатную ось Ах1
Разделим левую и правую часть на массу, получим дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия
Начальные условия: и
При t=τ ;
по условию задачи
или
Рассмотрим движение на участке ВС. Система координат yBx; время движения Т.
Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:
Проецируем на координатную ось Вх
Начальные условия
Начальные условия
Проецируем на координатную ось Ву
Начальные условия
Начальные условия
4.2. Пример 2.
Дано: f=0,25; l=4м; d=3м; h=5м
Определить: и
Рис. 3
Указываем действующие силы:
на участке АВ на материальную точку действуют:
- активная сила ,
- реакции связей: - нормальная реакция опорной поверхности,
- сила трения, направленная в сторону,
противоположную движению.
Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ах1:
(1)
где f – коэффициент трения скольжения,
N – нормальная реакция опорной поверхности определяется из условия равновесия (движения вдоль оси Ау1 нет).
Значит сумма проекций всех действующих сил на ось Ау1 равна 0.
Ау1:
подставим в уравнение (1)
После сокращения на массу m получим исходное уравнение для интегрирования:
После интегрирования получим:
Определим С1 исходя из начальных условий:
Таким образом
Для определения значения скорости vB подставляем время - время движения по участку АВ из
в
:
(1а)
Интегрируя второй раз, получим:
С2 определяем исходя из начальных условий: расстояние х1 для момента времени t=0 будет равно 0
Для определения длины участка АВ-l подставим значение
(1б)
В уравнениях (1а) и (1б) неизвестных три: и
.
Количество неизвестных превышает количество уравнений. Продолжаем решение для нахождения из второй части задачи.
Во второй части задачи движение происходит вдоль осей Вх и Ву.
Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Вх:
- не действуют никакие силы
интегрируем первый раз
(2а)
интегрируем второй раз
При значении t=T – время движения по участку ВС
(2б)
Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ву:
Интегрируем первый раз, получим
Определим С5 :
Интегрируя второй раз, получим
Определим С6 :
При значении
Вычислим значение
Принимаем
Из уравнения (2б) находим
При найденном значении решаем уравнения (1а) и (1б)
(1а)
(1б)
подставим в (1б)
Определяем значение времени движения по участку АВ, решая квадратное уравнение относительно
через дискриминант. Учитываем только положительное значение
.
Определяем
Ответ: ;
4.2. Пример 2.
В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость равной нулю, определить минимальную ширину полки b и скорость
, с которой камень падает на неё. По участку АВ откоса, составляющему угол
с горизонтом и имеющему длину l, камень движется
сек.
При решении задачи считать трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: =0;
; l=4 м;
сек; f≠0; h=5 м;
.
Определить b и .
Решение.
Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (см. Рис. 4) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию
и силу трения скольжения
. Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:
;
.
Сила трения
,
где
.
Таким образом,
или
.
Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем:
,
.
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0 x10=0 и . Составив уравнение, полученное при интегрировании, для t=0
,
,
Найдём постоянные:
,
.
Тогда
;
.
Для момента , когда камень покидает участок,
;
,
т.е.
,
,
откуда
,
т.е.
м/сек.
Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.
Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:
,
.
Интегрируем первое из этих уравнений:
,
.
Постоянные интегрирования С3 и С4 определим, используя начальные условия задачи: при t=0 x0=0, .
С помощью уравнений, полученных при интегрировании и составленных для t=0,
,
,
найдём, что
;
.
Тогда
,
.
Интегрируя уравнение , имеем:
,
.
Начальные условия: при t=0 y0=0, . Из уравнений, полученных интегрированием и составленных для t=0,
,
,
найдём, что
и
.
Окончательно
,
.
Таким образом, уравнения движения камня имеют вид
;
.
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:
.
В момент падения
м, а
,
т.е.
,
откуда
,
так что
м,
м.
Поскольку траекторией движения камня является вервь параболы с положительными абсциссами её точек, то d=2,11 м.
Минимальная ширина полки
м.
Используя уравнение движения камня , найдём время Т движения камня от точки В до точки С:
,
откуда
сек.
Скорость камня при падении найдём через проекции скорости на оси координат:
,
по формуле
.
Для момента падения (t=Т=0,53 сек)
м/сек.
Вопросы для защиты расчетно-графической работы.
Для проверки качества знаний предлагаются два варианта программированного опроса по теме: «Основные теоремы динамики для поступательного движения». На один вопрос может быть несколько вариантов ответа.
Вариант 1
Тема: Основные теоремы динамики для поступательного движения
Вопрос | Ответ |
1. Потенциальная энергия это… | 1. энергия движения |
2. Потенциальная энергия рассчитывается по формуле… | 2. когда работу совершают силы трения |
3. Кинетическая энергия это… | 3. энергия взаимного расположения |
4. Единица измерения энергии… | 4. ![]() |
5. Кинетическая энергия зависит от | 5. когда начальная скорость точки равна 0 |
6. Кинетическая энергия рассчитывается по формуле… | 6. когда вектор силы и перемещения совпадают по направлению |
7. Единица измерения работы… | 7. Дж |
8. Формулировка закона об изменении импульса точки | 8. количество движения |
9. Формулировка закона об изменении кинетической энергии точки | 9. когда тело останавливается |
10. Импульс точки это… | 10. от массы точки и квадрата ее скорости |
11. Единица измерения импульса точки | 11. Вт |
12. Импульс силы это… | 12. ![]() |
13. Единица измерения импульса силы | 13. когда конечная скорость точки равна 0 |
14. Работа отрицательна, если… | 14. ![]() |
15. Когда применяется формула ![]() | 15. когда тело движется из состояния покоя |
16. Когда применяется формула ![]() | 16. ![]() |
17. Когда применяется формула ![]() | 17. Изменение кинетической энергии точки на некотором участке пути равно работе равнодействующей силы на этом же участке пути |
18. Когда применяется формула ![]() | 18. Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей это же время |
19. ![]() | |
20. ![]() |
Вариант 2
Тема: Основные теоремы динамики для поступательного движения
Вопрос | Ответ |
1. Кинетическая энергия это… | 1. Работу совершают силы трения |
2. Единица измерения энергии… | 2. энергия взаимного расположения |
3. Кинетическая энергия зависит от… | 3. ![]() |
4. Потенциальная энергия это… | 4. энергия движения |
5. Кинетическую энергию рассчитывают по формуле… | 5. когда начальная скорость точки равна 0 |
6. Потенциальную энергию рассчитывают по формуле… | 6. когда вектор силы и перемещения совпадают по направлению |
7. Единица измерения работы… | 7. Дж |
8. Формулировка закона об изменении кинетической энергии | 8. количество движения |
9. Импульс точки это… | 9. когда конечная скорость точки равна 0 |
10. Единица измерения импульса точки | 10. массы точки и квадрата ее скорости |
11. Импульс силы это… | 11. Вт |
12. Единица измерения импульса силы | 12. ![]() |
13. Формулировка закона об изменении импульса точки | 13. когда тело останавливается |
14. Когда применяется формула ![]() | 14. ![]() |
15. Когда применяется формула ![]() | 15. ![]() |
16. Когда применяется формула ![]() | 16. когда тело движется из состояния покоя |
17. Когда применяется формула ![]() | 17. ![]() |
18. Работа отрицательна, если… | 18. Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей это же время |
19. Изменение кинетической энергии точки на некотором участке пути равно работе равнодействующей силы на этом же участке пути | |
20. ![]() |
Список литературы.
1. Яблонский А.А. Сборник заданий по теоретической механике – М. Высшая школа, 1985-366 с.
2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики – М. Высшая школа, 1974-526 с.
Теоретическая механика.