Примеры выполнения задания.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования «Санкт-

Петербургский государственный морской технический

Университет» в г. Северодвинске

Курзанова Е.В.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки

Северодвинск

УДК 531

Теоретическая механика. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил»/Сост. Е.В.Курзанова

Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2008 - с.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».

Методические указания по теоретической механике, раздел «Динамика», разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил». Указания содержат план решения расчетно-графической работы, расчетные схемы, варианты заданий, пример решения.

Рецензенты:

доцент кафедры № 3, к.т.н. Д.В.Кузьмин,

ст. преподаватель кафедры № 3 Л.А.Ковалев.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.

© Севмашвтуз, 2008

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие…………………………………………………………………….4

1. Задание……………………..………………………………………………….5

2. План выполнения работы……………………………………………….…5

3. Расчетные схемы и варианты задания…………………………..……….7

4. Примеры выполнения работы……………………………………………..11

5. Вопросы для защиты расчетно-графической работы…….…………….22

6. Список литературы……………………………………………………….…23

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки содержат план выполнения работы, расчетные схемы и варианты заданий, примеры решения, вопросы для защиты.

Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении работы и проверка качества знаний при защите работы.

Задание.

Необходимо найти неизвестные с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил.

План выполнения работы.

2.1. Записать исходные данные (выбрать согласно порядковому номеру в журнале).

2.2. Вычертить расчетную схему. Формой и размерами движущегося тела можно пренебречь, приняв его за материальную точку.

2.3. Изобразить действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести ; силу , если она дана; силы реакции связей (сила - нормальная реакция опорной поверхности, сила трения , направленная в сторону, противоположную движению).

2.4. Разделить задачу на две части:

· движение точки в системе координат , время движения по участку обозначается ;

· движение точки в системе координат , время движения в данной системе обозначается Т (движение из точки В в точку С).

2.5. Записать второй основной закон Ньютона в векторной форме: или

Затем спроецировать на координатные оси.

В осях y₁Ax₁ уравнений будет два

Произведение массы на вторую производную от расстояния по времени (ускорение) равно сумме проекций всех действующих сил на соответствующую координатную ось.

Из уравнения (2) следует найти N – нормальную реакцию опорной поверхности. Так как , это значит, что сумма проекций всех действующих сил на ось Ay₁ равна 0 (условие равновесия).

В случае движения по горизонтальной поверхности получится .

В случае движения по наклонной поверхности получится , где - угол наклона поверхности.

Исходных уравнений будет четыре:

(1)

(2)

(3) на ось Вх

(4) на ось Ву

2.6. Каждое из исходных уравнений необходимо разделить на массу (левую и правую часть). Дифференциальные уравнения необходимо дополнить начальными условиями и свести задачу динамики к решению математической задачи (к задаче Коши).

2.7. а) Рассмотрим движение точки на участке АВ. Записываем дифференциальные уравнения (1) и (2) и начальные условия. Получаем математическую задачу. Интегрируем дифференциальные уравнения и определяем константы интегрирования. Получаем выражение для скорости и расстояние

б) Подставляем и получаем 2 алгебраических уравнения. Эти уравнения позволяют найти две неизвестные.

в) Рассматриваем движение на участке ВС. Записываем дифференциальные уравнения (3) и (4) и начальные условия, интегрируем и получаем выражения для скорости и ; и расстояния и .

г) Подставляем и получаем четыре алгебраических уравнения для нахождения четырех неизвестных.

д) Постоянные интегрирования находим с помощью начальных условий. Все нечетные постоянные интегрирования будут равны проекциям начальных скоростей на соответствующие координатные оси:

- проекция скорости на ось Ах₁

- проекция скорости на ось Вх

- проекция скорости на ось Ву

В случае совпадения оси Ах₁ с осью Вх

Все четные постоянные интегрирования будут соответствовать началу координат и и будут равны 0

2.8. После определения постоянных интегрирования и получения:

· уравнения, связывающего скорость в со скоростью в ,

· уравнения для определения длины участка ,

· уравнения для определения ширины участка ,

· уравнения для определения высоты участка

можно приступить к вычислению своего варианта задания и к нахождению неизвестных.

Расчетные схемы и варианты задания.

Варианты 1-5 (Рис. 1, схема 1).

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение, в течение сек. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точки С плоскости BD, наклонённой под углом к горизонту, находясь в воздухе T сек.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивлением воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: ; ; f=0,2; l=10 м; .

Определить и h.

Вариант 2. Дано: ; м/сек; f=0,2; h=4 м; .

Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: ; ,5 м/сек; f¹0; l=8 м; d=10 м; .

Определить и .

Вариант 4. Дано: ; с; f=0; l=9.8 м; .

Определить и Т.

Вариант 5. Дано: ; ; cек; l=9.8 м; .

Определить f и .

Варианты 6-10 (Рис.1, схема 2).

Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклонённого под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется сек; в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т сек лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано ; сек; f=0,1; h=40 м; .

Определить l и .

Вариант 7. Дано: ; м/сек; f=0,1; l=5 м; .

Определить и Т.

Вариант 8. Дано: м/сек; f=0; сек; м/сек; .

Определить и d.

Вариант 9. Дано: ; сек; f=0,1; h=30 м; .

Определить и .

Вариант 10. Дано: ; м/сек; d=50 м; f=0; .

Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11-15 (Рис. 1, схема 3).

Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается сек по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всём участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретаем скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движения.

Вариант 11. Дано: ; Р¹0; l=40 м; ; м/сек; d=3 м.

Определить и h.

Вариант 12. Дано: ; Р=0; м/сек; h=1.5 м; l=40 м.

Определить и d.

Вариант 13. Дано: ; m=400 кг; ; сек; d=3 м; h=1,5 м.

Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: ; m=400 кг; Р=2,2 кН; ; d=5; l=40 м.

Определить и .

Вариант 15. Дано: ; ; Р=2 кН; h=2 м; l=50 м; d=4 м.

Определить Т и m.

Варианты 16-20 (Рис. 1, схема 4).

Камень скользит в течение сек по участку АВ откоса, составляющего угол с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: ; м/сек; f=0,2; l=3 м; d=2,5 м.

Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: ; ; h=6 м; сек; l=6 м.

Определить d и f.

Вариант 18. Дано: ; ; f=0,1; l=2 м; d=3 м.

Определить h и .

Вариант 19. Дано: ; м/сек; f≠0; l=3 м; d=2м; сек.

Определить и h.

Вариант 20. Дано: ; ; f=0,3; h=4 м; d=2 м.

Определить l и .

Варианты 21-25 (Рис. 1, схема 5).

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость .Коэффициент трения скольжения равен f. Через сек тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при \том оно находиться в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: ; м/сек; f=0,1; h=10 м; сек.

Определить и d.

Вариант 22. Дано: ; ; l=10 м; сек.

Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: ; f=0; l=9,81 м; h=20 м; сек.

Определить и Т.

Вариант 24. Дано: ; ; f=0,2; l=10 м; d=12 м.

Определить и h.

Вариант 25. Дано: ; ; f=0,2; l=6 м; h=4,5 м.

Определить и .

Варианты 26-30 (Рис. 1, схема 6).

Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длинной l в течение сек. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: м/сек; f=0,2; l=8 м; h=20 м.

Определить d и .

Вариант 27. Дано: м/сек; f=0,1; сек; d=2 м.

Определить и h.

Вариант 28. Дано: м/сек; f=0,3; l=3 м; h=5 м.

Определить и Т.

Вариант 29. Дано: м/сек; м/сек; l=2,5 м; h=20 м.

Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4 м; h=5 м d=3 м.

Определить и .

Рис. 1

Примеры выполнения задания.

4.1. Пример 1.

Имея в точке А скорость v_A мотоцикл поднимается τ секунд по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость v_В и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью v_С. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.

Рис. 2

Дано: α=30°; v_A=0; Р=2 кН; d=4 м; h=1,5 м; l=40 м

Определить: Т и m .

Решение.

Изображаем действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести , силу ; силы реакции связей – сила - нормальная реакция опорной поверхности. , т.к. задано в условии не учитывать сил сопротивления движению.

Рассмотрим движение на участке АВ. Система координат y₁Аx₁, время движения в данной системе – τ (с).

Записываем второй закон Ньютона в векторной форме: .

Проецируем на координатную ось Ах₁

Разделим левую и правую часть на массу, получим дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия

Начальные условия: и

При t=τ ;

по условию задачи

или

Рассмотрим движение на участке ВС. Система координат yBx; время движения Т.

Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

Проецируем на координатную ось Вх

Начальные условия

Начальные условия

Проецируем на координатную ось Ву

Начальные условия

Начальные условия

4.2. Пример 2.

Дано: f=0,25; l=4м; d=3м; h=5м

Определить: и

Рис. 3

Указываем действующие силы:

на участке АВ на материальную точку действуют:

- активная сила ,

- реакции связей: - нормальная реакция опорной поверхности,

- сила трения, направленная в сторону,

противоположную движению.

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ах₁:

(1)

где f – коэффициент трения скольжения,

N – нормальная реакция опорной поверхности определяется из условия равновесия (движения вдоль оси Ау₁ нет).

Значит сумма проекций всех действующих сил на ось Ау₁ равна 0.

Ау₁:

подставим в уравнение (1)

После сокращения на массу m получим исходное уравнение для интегрирования:

После интегрирования получим:

Определим С₁ исходя из начальных условий:

Таким образом

Для определения значения скорости v_B подставляем время - время движения по участку АВ из в :

(1а)

Интегрируя второй раз, получим:

С₂ определяем исходя из начальных условий: расстояние х₁ для момента времени t=0 будет равно 0

Для определения длины участка АВ-l подставим значение

(1б)

В уравнениях (1а) и (1б) неизвестных три: и .

Количество неизвестных превышает количество уравнений. Продолжаем решение для нахождения из второй части задачи.

Во второй части задачи движение происходит вдоль осей Вх и Ву.

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Вх:

- не действуют никакие силы

интегрируем первый раз

(2а)

интегрируем второй раз

При значении t=T – время движения по участку ВС

(2б)

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ву:

Интегрируем первый раз, получим

Определим С₅ :

Интегрируя второй раз, получим

Определим С₆ :

При значении

Вычислим значение

Принимаем

Из уравнения (2б) находим

При найденном значении решаем уравнения (1а) и (1б)

(1а)

(1б)

подставим в (1б)

Определяем значение времени движения по участку АВ, решая квадратное уравнение относительно через дискриминант. Учитываем только положительное значение .

Определяем

Ответ: ;

4.2. Пример 2.

В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость равной нулю, определить минимальную ширину полки b и скорость , с которой камень падает на неё. По участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину l, камень движется сек.

При решении задачи считать трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: =0; ; l=4 м; сек; f≠0; h=5 м; .

Определить b и .

Решение.

Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (см. Рис. 4) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

;

.

Сила трения

,

где

.

Таким образом,

или

.

Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем:

,

.

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0 x₁₀=0 и . Составив уравнение, полученное при интегрировании, для t=0

,

,

Найдём постоянные:

, .

Тогда

;

.

Для момента , когда камень покидает участок,

; ,

т.е.

,

,

откуда

,

т.е.

м/сек.

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:

,

.

Интегрируем первое из этих уравнений:

,

.

Постоянные интегрирования С₃ и С₄ определим, используя начальные условия задачи: при t=0 x₀=0, .

С помощью уравнений, полученных при интегрировании и составленных для t=0,

,

,

найдём, что

; .

Тогда

,

.

Интегрируя уравнение , имеем:

,

.

Начальные условия: при t=0 y₀=0, . Из уравнений, полученных интегрированием и составленных для t=0,

,

,

найдём, что

и .

Окончательно

,

.

Таким образом, уравнения движения камня имеют вид

;

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

.

В момент падения

м, а ,

т.е.

,

откуда

,

так что

м, м.

Поскольку траекторией движения камня является вервь параболы с положительными абсциссами её точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

м.

Используя уравнение движения камня , найдём время Т движения камня от точки В до точки С:

,

откуда

сек.

Скорость камня при падении найдём через проекции скорости на оси координат:

,

по формуле

.

Для момента падения (t=Т=0,53 сек)

м/сек.

Вопросы для защиты расчетно-графической работы.

Для проверки качества знаний предлагаются два варианта программированного опроса по теме: «Основные теоремы динамики для поступательного движения». На один вопрос может быть несколько вариантов ответа.

Вариант 1

Тема: Основные теоремы динамики для поступательного движения

Вопрос	Ответ
1. Потенциальная энергия это…	1. энергия движения
2. Потенциальная энергия рассчитывается по формуле…	2. когда работу совершают силы трения
3. Кинетическая энергия это…	3. энергия взаимного расположения
4. Единица измерения энергии…	4.
5. Кинетическая энергия зависит от	5. когда начальная скорость точки равна 0
6. Кинетическая энергия рассчитывается по формуле…	6. когда вектор силы и перемещения совпадают по направлению
7. Единица измерения работы…	7. Дж
8. Формулировка закона об изменении импульса точки	8. количество движения
9. Формулировка закона об изменении кинетической энергии точки	9. когда тело останавливается
10. Импульс точки это…	10. от массы точки и квадрата ее скорости
11. Единица измерения импульса точки	11. Вт
12. Импульс силы это…	12.
13. Единица измерения импульса силы	13. когда конечная скорость точки равна 0
14. Работа отрицательна, если…	14.
15. Когда применяется формула	15. когда тело движется из состояния покоя
16. Когда применяется формула	16.
17. Когда применяется формула	17. Изменение кинетической энергии точки на некотором участке пути равно работе равнодействующей силы на этом же участке пути
18. Когда применяется формула	18. Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей это же время
	19.
	20.

Вариант 2

Тема: Основные теоремы динамики для поступательного движения

Вопрос	Ответ
1. Кинетическая энергия это…	1. Работу совершают силы трения
2. Единица измерения энергии…	2. энергия взаимного расположения
3. Кинетическая энергия зависит от…	3.
4. Потенциальная энергия это…	4. энергия движения
5. Кинетическую энергию рассчитывают по формуле…	5. когда начальная скорость точки равна 0
6. Потенциальную энергию рассчитывают по формуле…	6. когда вектор силы и перемещения совпадают по направлению
7. Единица измерения работы…	7. Дж
8. Формулировка закона об изменении кинетической энергии	8. количество движения
9. Импульс точки это…	9. когда конечная скорость точки равна 0
10. Единица измерения импульса точки	10. массы точки и квадрата ее скорости
11. Импульс силы это…	11. Вт
12. Единица измерения импульса силы	12.
13. Формулировка закона об изменении импульса точки	13. когда тело останавливается
14. Когда применяется формула	14.
15. Когда применяется формула	15.
16. Когда применяется формула	16. когда тело движется из состояния покоя
17. Когда применяется формула	17.
18. Работа отрицательна, если…	18. Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей это же время
	19. Изменение кинетической энергии точки на некотором участке пути равно работе равнодействующей силы на этом же участке пути
	20.

Список литературы.

1. Яблонский А.А. Сборник заданий по теоретической механике – М. Высшая школа, 1985-366 с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики – М. Высшая школа, 1974-526 с.

Теоретическая механика.