Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов.

Любой источник электрического сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 3.17, 3.18), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, т.е. ток нагрузки I_н и напряжение на нагрузке U_н в этих схемах одинаковы.

Схему 1 можно заменить схемой 2, если параметры схемы 2 выбраны из условий: I = E/Z_i1, Z_i2 = Z_i1.

Схему 2 можно заменить схемой 1, если параметры схемы 1 выбраны из условий: E =I Z_i2, Z_i1 = Z_i2.

Следует отметить, что эти источники эквивалентны лишь для внешней цепи. Токи, протекающие через внутренние сопротивления, как видно из схем, различны.

3.5. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

в общем случае расчет электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. Основными методами анализа (расчета) являются:

1. метод токов ветвей (МТВ);

2. метод контурных токов (МКТ);

3. метод узловых потенциалов (МУП);

4. метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

Метод токов ветвей (МТВ)

Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы кроме ветвей, содержащих заданные источники тока. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из N ветвей с неизвестными токами, необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

1) Проводится топологический анализ схемы.

а) Определяют число ветвей, не содержащих источники тока: N. Во всех ветвях стрелками показывают условное положительное направление токов и нумеруют их I₁, I₂, …, I_N.

б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов N_у = у – 1.

в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле N_k = N – N_у. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.

2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N_y + N_k = N, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка:

где x_i= I_i – искомые токи ветвей; a_ji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера

x_i= ; ,

где D – главный определитель системы; D_i – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.19). Определить токи во всех ветвях схемы.

1) Проведем топологический анализ.

а) N = 3; б) y = 2, N_у =1; в) N_k = N – N_у = 2.

2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

I₁– I₂– I₃ = –J для узла 1;

Z₁I₁+ Z₂ I₂ + 0 I₃ = E₁ – E₂для контура 1;

0 I₁+ Z₂ I₂ + Z₃ I₃ = E₂ для контура 2.

4.3.2. Метод контурных токов (МКТ)

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют эквивалентными источниками ЭДС (рис. 3.20).

Эта схема эквивалентна, если

а) E = JZ_i^I;

б) Z_i^II = Z_i^I.

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей N.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = N – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2; I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка:

где I_ki – контурный ток i-го контура;

Z_ii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Z_ji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

E_ki – контурная ЭДС i-го контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС E_ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токи I_ki= .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинным, и наоборот. При этом находятся все токи, за исключением токов, протекающих через внутреннее сопротивление источников токов, преобразованных в источники ЭДС. Чтобы найти эти токи, необходимо вернуться к исходной схеме, тогда эти токи находятся по первому закону Кирхгофа из уже найденных внешних токов источников.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица сопротивлений всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Z_ij = Z_ji.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.21). Определить токи во всех ветвях.

Проводим топологический анализ

а) N = 6; б) y = 4; в) N_k = 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

где

E₁₁= E₁; E₂₂ = 0; E₃₃ = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи I_ki = .

4) Находим токи в ветвях: I₁ = I_k1; I₂ = I_k1 – I_k2; I₃ = I_k1 – I_k3; I₄ = –I_k2 + I_k3;
I₅ = I_k2; I₆ = I_k3.

4.3.3. Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис.3.22).

а) I = E/Z_i^I;

б) Z_i^II = Z_i^I.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов N_y = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

,

где Y_ii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Y_ij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

I_ii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера: .

4) Токи в ветвях находят по закону Ома: I = (j₁ – j₂)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис.3.23). Рассчитать токи во всех ветвях.

Z2

I2

Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис.3.23) в источники тока (рис.3.24).

Z4

Z3

Z1

I1

I3

I

I

I4

I2

I1

E2

E1

Z4

Z3

Z2

Z1

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей N = 4 с токами: ;

б) число независимых узлов N_у = 2, их потенциалы: φ₁ и φ₂ (рис.3.24).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов: .

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.

Частный случай. Исследуемая цепь может содержать идеальный источник напряжения (без последовательно включенного сопротивления), включенный между двумя узлами. В этом случае один из этих узлов целесообразно принять за базисный. Тогда узловое напряжение другого узла будет равно ЭДС источника (со знаком плюс или минус), т.е. известное. Следовательно, узел, к которому подключен источник напряжения, в этом случае оказывается зависимым, число неизвестных узловых напряжений уменьшается до n₁ = N_у – 1 – p_ин (p_ин – число идеальных источников ЭДС). Узловые уравнения формируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжений. В левой части равнений в первоначальной их записи учитываются все узловые напряжения, как известные, так и неизвестные, но затем члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть уравнений.

Контрольные вопросы

1. каковы основные свойства линейных цепей?

2. Какие узлы и контуры называются независимыми?

3. Записать закон Ома в комплексной форме.

4. На каком законе основаны методы контурных токов и узловых потенциалов.

5. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 3.25.

6. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.

7. Записать второй закон Кирхгофа (для контура J₁ на рис.3.26).

8. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.

9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.35.

10. Для независимых узлов схемы на рис. 3.26 записать уравнения по 1-му закону Кирхгофа.

a) I1 – I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0 I4 + I5 – I1 = 0	б) I1 – I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0
в) I1 + I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0 I4 + I5 – I1 = 0	г) I1 + I2 + I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0