Көбейткіштерге жіктеу әдісі

Мазмұны

Кіріспе

Бүтін сандар сақинасында теңдеулерді шешудің әдістері.

1. Көбейткіштерге жіктеу әдісі.

2. Сынап көру әдісі.

3. Бүтін сандарда шешілетін байырғы қазақ есептері.

Қорытынды.

Пайдаланылған әдебиеттер.

Кіріспе

Белгісізі біреуден көп болатын бүтін коэффициентті алгебралық теңдеулерді бүтін сандар сақинасында шешу сандар теориясының қиын мәселелерінің бірі. Мұндай есептермен байырғы заманның математиктері, мысалы, грек математигі Пифагор ( б.з.б. VІ ғ) александриялық математик Диофант (б.з.б. ІІ – ІІІ ғ) және біздің дәурімізге жақын үздік математиктер – П. Ферма (ХVII ғ), Л. Эйлер (ХVIІІ ғ), Лагранж (ХVIІІ ғ) және тағы басқалар шұғылданған.

Бүтін сандар сақинасында теңдеулерді шешу тек қана екі белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеулер үшін ғана шешілген мәселе. Екі немесе одан да көп белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеулердің бүтін сандар сақинасында барлық шешімдерін табу өте қиын. Мектеп бағдарламасында бүтін сандар

сақинасында теңдеулерді шешуге көп көңіл бөлінбейді. Бірақ олимпиадалық есептерде мұндай теңдеулер жиі кездеседі. Осы жағдайларды ескере отырып бұл жұмыста біз алдымызға мынадай мақсатқойдық: мектеп математика курсында оқушыларды бүтін сандар сақинасында шешілетін теңдеулермен толық таныстыру.

Бүтін сандар сақинасында берілген теңдеулерді шешудің әдістері.

Көбейткіштерге жіктеу әдісі

1. Жоғары дәрежелі теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешіңдер:

Шешуі:

болғандықтан берілген теңдеу және теңдеулері жиынтығымен мәндес болады. Мұнда бірінші теңдеудің түбірі ,ал екінші теңдеудің бүтін сандар сақинасында шешімі болмайтындықтан, берілген теңдеудің жалғыз бүтін шешімі бар: -2.

2. теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек, мұндағы және жай сандар.

Шешуі: Берілген теңдеуді түрінде жазамыз. сандарының тақ немесе жұптығы әртүрлі және болғандықтан, болады. Сонымен қатар, саны -қа бөлінуі керек, ал саны -қа бөлінбегендіктен ( -жай сан), саны -қа бөлінуі керек. Ал бұл қатынас болғанда ғана орындалады.Сонымен -жай сан және немесе . Бұл теңдік және болғанда ғана орындалады. Онда және =3.

3. теңдеуінің барлық бүтін түбірлерін табу керек.

Шешуі: Берілген теңдеуді түрлендірейік:

Соңғы теңдіктен және 10 санының бөлгіштері екендігі шығады. Ал 10 санының 8 бөлгіші бар: Осыдан 8 теңдеулер жүйесі шығады:

Теңдеулер жүйесін шешсек, берілген теңдеудің 8 бүтін шешімі бар екенін көреміз: (-2,12); (-4,-8); (-1,7); (-5,-3); (2,4); (7,3); (-8,0); (-13,1).

4. теңдеуін бүтін сандар сақинасында шешу керек, мұндағы -жай сан.

Шешуі: десек,

теңдеуі шығады. Ал -жай сан болғандықтан, санының 6 бөлгіші бар: Сонымен 5 теңдеулер жүйесі шығады:

Теңдеулер жүйесін шешсек, берілген теңдеудің 5 шешімі бар екенін көреміз: ; ; ; .

5. теңдеуін натурал сандар сақинасында шешу керек.

Шешуі: Теңдеуді мына түрде жазып алайық:

,

сандары санының бөлгіштері болып табыалды, сондай-ақ және , мұндағы . Сондықтан

.

Ескереміз, (әйтпесе тақ саны 2 санының бөлгіші болар еді), сондықтан және , сондай-ақ . Тексеру барысы жалғыз мәні тек қана болғанда теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетеді.

6. теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін және сандар жұбын табу керек.

Шешуі: Теңдеудің екі жағын да 4-ке көбейтіп, оған 1-ді қоссақ,

теңдігін аламыз. Егер -бүтін және -1,0,1,2 сандарына тең болмаса, онда және , сонымен қатар

.

Бұл теңсіздіктер санының қатарлас екі санның квадраттарының арасында жатқандығын көрсетеді, ал бүтін саны үшін бұлай болу мүмкін емес. Теңдеуге =-1, =0, =2 мәндерін қойсақ, есептің жауаптарын аламыз:

(0,-1); (0,0); (-1,-1); (-1,0); (5,2); (-6,2).

Сынап көру әдісі

1. теңдеуін натурал сандар сақинасында шешу керек.

Шешуі: Ең алдымен деп ұйғарайық. Келесі жағдайларды қарастырайық:

а) болғанда, теңдеудің шешімі жоқ екенін көреміз:

.

б) болғанда

, .

Ал болғандықтан, теңдеудің 2 шешімі бар: (2,3,6); (2,4,4).

в) болғанда, түрлендіруден соң

теңдігін алмыз. Егер , онда . Осыдан (3,3,3) шешімдерін табамыз. Егер , онда . Осыдан

теңсіздігі шығады. Бірақ бұл теңсіздік мүмкін емес.

г) үшін және , сонымен қатар келесі теңсіздік орынды:

Бұлай болу мүмкін емес. Сонымен үшін теңдеудің 3 шешімі бар:

(2,3,6); (2,4,4); (3,3,3). Ал олай ұйғармайтын болып, қалған 8 шешімін табамыз: (4,2,4); (4,4,2); (2,6,3); (3,2,6); (2,4,4); (3,6,2); (6,2,3); (6,3,2).

3. теңсіздігін қанағаттандыратын кез-келген мәні үшін

жүйесінің теріс емес бүтін сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: сандары теңсіздігін қанағаттандырсын. Ал деп ұйғарсақ, шамасы мына жиыннан ғана мәндер қабылдай алады:

.

Келесі теңдікті:

пайдаланып, мына қатынасты аламыз:

.

Егер болса

, ,

сонда . Ал болса

, , ,

сонда , сондай-ақ немесе . Егер болса

, , ,

сонда , сондай-ақ . Ал 3 болса

,

сонда , сондай-ақ . Енді 4 болғанда

, , ,

сонда , сондай-ақ . Осылай, біз қарастырған әрбір жағдайда

сандары мына теңдіктерді қанағаттандырады:

, ,

демек, берілген жүйені де қанағаттандырады.