Краткие теоретические сведения. Понятие неопределенного интеграла
Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для любого элемента выполняется равенство F'(x) = f(x).
Если F(x) — одна из первообразных для функции f(x) на промежутке Х, то всякую другую первообразную Ф(х) на промежутке Х можно представить в виде Ф(х) = F(x) + с, где с — постоянная величина.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных, т. е. .
При этом f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, знак неопределенного интеграла, х —
переменная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. где с — постоянная величина.
5. .
6. Если = F(x) + c и
— дифференцируемая функция, то
= F(и) + c.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1.
2.
3.
4. .
5. .
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Интегрирование методом замены переменной и по частям
Метод замены переменной проводится по формуле
где х = — некоторая дифференцируемая функция.
Если и = и(х), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование проводят в зависимости от типа простейшей рациональной дроби.
1. (А, а — постоянные действительные числа) — простейшая рациональная дробь первого типа.
Пример. =
=
=
= =
=
.
2. (А, а, т — постоянные числа,
,
) — простейшая рациональная дробь второго типа.
Пример. =
=
=
=
= =
=
.
3. (М, N, p, q — постоянные числа, М, N, p, q
, х2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь третьего типа.
Пример. =
+
=
= dx +
=
dx –
·
· + 5 ·
=
=
=
–
=
–
=
=[d(x + 2) = (x + 2)'dx = dx] =
–
=
·
· – arctg(x + 2) + c.
4. (М, N, р, q — постоянные числа, М, N, р, q
,
,
; х2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь четвертого типа.
Интеграл от этой дроби считается с помощью рекуррентных формул, позволяющих уменьшить число т до 1.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей
Рациональная дробь (Qn(x), Qm(x) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно) называется правильной, если
, и неправильной в противном случае (если
).
Для интегрирования правильной дроби ее предварительно раскладывают на простейшие дроби. Для этого многочлен Qn(x) разлагают на неприводимые множители. Общий вид такого разложения следующий:
=
+
+ … +
+ + … +
+ … +
+
+
+ +…+
,
где А1, А2, …, Аk, В1, В2, …, Вr , М1, М2, …, Мs , N1, N2, …, Ns — некоторые неопределенные действительные коэффициенты, которые следует еще определить.
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию правильной рациональной дроби выделением из первой целой части.