Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».

Завдання 1.

Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя.

а) .

Розв’язання. При чисельник і знаменник дробу прямують до нескінченності. Маємо невизначеність . Щоб розкрити її, поділимо чисельник і знаменник дробу на найвищу степінь , що зустрічається у членів дробу, тобто на :

.

Відповідь. 0.

б) .

Розв’язання. При чисельник і знаменник дробу прямують до нуля. Отже, маємо невизначеність . Для її розкриття позбавимось ірраціональності в чисельнику: помножимо чисельник і знаменник на і скористаємось формулою . Знаменник розкладемо на множники за формулою , де і - корені квадратного тричлена. Знайдемо їх:

; ; ;

, .

Отже, . Таким чином,

.

Відповідь. .

в) .

Розв’язання. При обчисленні цієї границі маємо невизначеність . Розкриваючи її, розкладемо знаменник на множники за формулою : і перепишемо границю так:

.

До останньої границі був застосований наслідок з першої важливої границі.

Відповідь. .

г) .

Розв’язання. При вираз у дужках прямує до 1, а показник степеня до . Маємо невизначеність . Щоб розкрити її, перетворимо границю так:

.

Відповідь. .

Завдання 2.

Знайти похідні функцій.

а) .

Розв’язання. За правилом диференціювання складеної функції маємо

.

При цьому використовувались наступні формули диференціювання: , , , , .

Відповідь. .

б) .

Розв’язання. Це рівняння задає функцію неявно. Щоб знайти похідну, продиференціюємо обидві його частини, пам’ятаючи, що є функція змінної :

,

,

.

Отримане рівняння розв’яжемо відносно :

,

,

,

.

Відповідь. .

в) .

Розв’язання. Для обчислення похідної такої функції (так званої степенево-показникової) використаємо логарифмічне диференціювання: прологарифмуємо обидві частини рівності . Отримаємо

.

Тепер, продиференціювавши ліву і праву частини останньої рівності, враховуючи, що , знаходимо

,

,

.

Звідки або

.

Відповідь. .

г) ,

Розв’язання. Функція задана параметрично. Її похідна обчислюється за формулою .

Знайдемо та

. Отже,

.

Друга похідна функції, заданої параметрично, знаходиться за формулою . Диференціюємо отриману похідну за змінною :

.

За допомогою наведеної вище формули дістанемо

.

Відповідь. ; .

Завдання 3.

Визначити диференціал функції , якщо .

Розв’язання. Диференціал функції обчислюється за формулою .

.

.

Відповідь. .

Завдання 4.

Методами диференціального числення дослідити функцію і за результатами дослідження побудувати її графік.

Розв’язання. Задана функція дробово-раціональна. Отже, вона визначена при всіх , крім точок і . Дослідимо поведінку функції в їх околі. Для цього обчислимо односторонні границі при і при :

;

;

;

.

Знайдені границі говорять про те, що обидві точки є точками розриву другого роду і визначають вертикальні асимптоти, рівняння яких і .

На інтервалах , , функція неперервна.

Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:

а) з віссю : якщо , то ;

б) з віссю : якщо , то .

Отже, графік функції перетинає координатні осі в точці , тобто проходить через початок координат.

Знайдемо інтервали знакосталості функції. Розв’яжемо нерівність : :

--

+

--

+

Таким чином, на інтервалах і ; на інтервалах і . На інтервалах і графік функції розташований вище осі , а на інтервалах і нижче осі .

Функція непарна, оскільки

, тому її графік симетричний відносно початку координат. Подальше дослідження можна проводити для .

З’ясуємо поведінку функції при :

. Отже, горизонтальна асимптота відсутня.

Похилу асимптоту будемо шукати у вигляді :

,

Отже, - рівняння похилої асимптоти.

Дослідимо функцію на монотонність та екстремум:

1) .

2) З рівняння знайдемо критичні точки першого роду:

⇔ ⇒

3) Враховуючи непарність функції, встановимо знак першої похідної на інтервалах , , .

+

+

--

Таким чином, функція зростає на інтервалах , ; спадає на інтервалі . В точці функція має максимум, рівний .

Знайдемо інтервали опуклості графіка функції і точки перегину:

1)

.

2) Розв’язуючи рівняння , знайдемо критичні точки другого роду:

⇔ ⇒

3) Знак другої похідної встановимо на інтервалах , .

Таким чином, на інтервалі графік функції вгнутий, а на інтервалі - опуклий.

Враховуючи непарну симетрію кривої, точка є точкою перегину. Точка - точка розриву і не може бути точкою перегину.

За результатами дослідження будуємо графік функції для . Частина графіка для відображається за принципом непарної функції (поворотом на відносно початку координат).