Задачи для контрольных работ
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
1-10. Найти векторное произведение векторов
,
, угол между
и
, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
и
.
1. ,
2.
,
3. ,
4.
,
5. ,
6.
,
7. ,
8.
,
9. ,
10.
,
11-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и определить координаты точки пересечения этой прямой с высотой СD; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ является диаметром; 8.) доказать, что
и
образуют базис в R2 и разложить
в этом базисе.
Сделать чертеж.
11. А (4; 0), В (7; 4), С (8; 2)
12. А (2; 2), В (5; 6), С (6; 4)
13. А (0; 2), В (3; 6), С (4; 4)
14. А (4; 1), В (7; 5), С (8; 3)
15. А (3; 2), В (6; 6), С (7; 4)
16. А (-2; 1), В (1; 5), С (2; 3)
17. А (4; -3), В (7; 1), С (8; -1)
18. А (-2; 2), В (1; 6), С (2; 4)
19. А (5; 0), В (8; 4), С (9; 2)
20. А (2;3), В (5, 7), С (6; 5)
21-30. Привести к нормальному виду уравнение окружности.
21. 22.
23.
24. 25.
26.
27. 28.
29.
30.
31-40. Установить, какие линии определяются нижеследующими уравнениями. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситеты соответствующих кривых. Построить чертеж.
31. 32.
33.
34.
35. 36.
37.
38.
39. 40.
Элементы линейной алгебры
41-50. Решить систему уравнений по правилу Крамера.
41. 3х + 2у + z = 5 5х + 8у – z = –7 42. х + 2у + 4z = 31 х + 2у + z = 4
а) 2х + 3у + z = 1 б) х + 2у + 3z = 1 а) 5х +у + 2z = 29 б) 3х – 5у + 3z = 1
2х + у + 3z = 11 2х – 3у + 2z = 9 3х – у + z = 10 2х + 7у – 7z = 8
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | ![]() | ||||||
43. 4х – 3у +2z = 9 3х + 2у + z = 5 44. 3х – у = 5 х + 2у + 4z = 31
а) 2х + 5у – 3z = 4 б) 2х + 3у + z = 1 а) –2х + у + z = 0 б) 5х +у + 2z = 29
5х + 6у – 2z = 18 2х + у + 3z = 11 2х – у + 4z = 15 3х – у + z = 10
![]() | |||||
![]() | ![]() | ||||
45. 3х – у + z = 4 4х – 3у +2z = 9 46. 2х – у – 3z = 3 3х – у = 5
а) 2х – 5у – 3z = –17 б) 2х + 5у – 3z = 4 а) 3х + 4у – 5z = 8 б) –2х + у + z = 0
х + у – z = 0 5х + 6у – 2z = 18 2у + 7z = 17 2х – у + 4z = 15
![]() |
47. 3х + 4у + 2z = 8 х + у + 2z = – 1 48. 2х + у + 4z = 20 3х – у = 5
а) 2х – у – 3z = –1 б) 2х – у + 2z = – 4 а) 2х – у – 3z = 3 б) –2х + у + z =0
х + 5у + z = 0 4х + у + 4z = –2 3х + 4у – 5z = – 8 2х – у + 4z = 15
![]() | |||
![]() | |||
49. х + 5у – z = 7 3х – у + z = 4 50. 11х + 3у – z = 2 х + у + z = 2
а) 2х – у – z = 4 б) 2х – 5у – 3z = –17 а) 2х + 5у – 5z = 0 б) 2х – у – 6z = – 1
3х – 2у + 4z = 11 х + у – z = 0 х + у + z = 2 3х – 2у = 8
51-60. Найти:
а) обратную матрицу А-1 для матрицы А. Проверить равенство А · А-1 = А-1 · А = Е, где Е – единичная матрица,
б) матрицу D=AB-BA+A-1 +BT , здесь BT получается из В её транспонированием.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
1 2 –3 2 3 – 2 1 2 –3 2 3 –2
51. А = –1 –1 2 , В= 0 0 3 52. А = 0 1 2 , В= 1 2 3
2 4 –5 3 5 – 4 0 0 1 1 1 2
![]() | |||||||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | |||||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||||||
3 –4 5 4 – 3 6 1 2 2 2 3 3
53. А = 2 –3 1 , В= 3 – 2 2 54. А = 2 1 –2 , В= 3 2 –1
3 –5 –1 4 – 4 0 2 –2 1 3 –1 2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
0 1 3 1 2 4 1 3 5 2 4 6
55. А = 2 3 5 , В= 3 4 6 56. А = 2 7 –8 , В= 3 8 –7
3 5 7 4 6 8 –1 –3 4 0 –2 5
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
1 2 –3 2 3 –2 5 3 1 6 4 2
57. А = 3 2 –4 , В= 4 3 –3 58. А = 1 –3 – 7 , В= 2 –2 –1
2 –1 0 3 0 1 –5 2 1 – 4 3 2
![]() | |||||||||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||||||
![]() | |||||||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||||||
1 –2 –3 2 –1 –2 1 –2 2 2 –1 3
59. А = 1 –1 –2 , В= 2 0 –1 60. А = 2 –5 7 , В= 3 – 4 8
2 –3 –4 3 –2 –3 4 9 –10 5 10 –9
61-70. Решить системы уравнений двумя способам: 1) методом Гаусса, 2) средствами матричного исчисления.
![]() | |||
![]() | |||
61. 5х + 8у – z = – 7 62. х + 2у + z = 4
х + 2у + 3z = 1 3х – 5у + 3z = 1
2х – 3у + 2z = 9 2х + 7у – z = 8
63. 2х – у – z = 4 64. х + у + 2z = – 1
3х + 4у – 2z = 11 2х – у + 2z = – 4
3х – 2у + 4z = 11 4х + у + 4z = – 2
![]() | |||
![]() | |||
65. х + у + z = 2 66. 2х + у – z = 1
2х – у – 6z = – 1 х + у + z = 6
3х – 2у = 8 3х – у + z = 4
67. х + 5у + z = -7 68. х – 2у + 3z = 6
2х – у – z = 0 2х + 3у – 4z = 16
х – 2у – z = 2 3х – 2у – 5z = 12
![]() | ![]() |
69. 2х – у + 3z = 7 70. х – у = 4
х + 3у – 2z = 0 2х + 3у + z = 1
2у – z = 2 2х + у + 3z = 11
Введение в математический анализ
71-80. Найти пределы числовых последовательностей хn.
|
| ![]() |
71.
![]() | |||||
| |||||
| |||||
72.
![]() | |||
![]() |
73.
|
|

|
| ![]() | ||||
![]() | |||||
75.
| ![]() | ||||
| |||||
76.
![]() | |||
![]() |
77.
![]() | |||
![]() | |||
78.
![]() | |||||
![]() | |||||
![]() | |||||
79.
![]() | |||
![]() |
80.
81-90. Найти указанные пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
|
81. а) а = 2; б) а = –2; в) а = ∞
![]() | ||||||
![]() | ![]() | |||||
|
82. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞
![]() | |||||
![]() | ![]() |
|
![]() | |||||
![]() | ![]() | ||||
|
84. а) а = – 1; б) а = 1; с) а = ∞
![]() | |||||
![]() |
|
![]() | |||
|
85. а) а = 2; б) = – 2; в) а = ∞
![]() | |||
|
|

|
86. а) а= 1; б) а = 2; в) а = ∞
![]() |
|
|

|
![]() | |||
|
87. а) а = – 2; б) а = – 1; в) а = ∞
![]() | |||||
| ![]() |
88. а) а = – 1; б) а = 1; в) а = ∞
|
|
|
89. а) а = 2; б) а = – 2; в) а = ∞
|
|
|
90. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞
![]() | |||
|
,
91-100. Функция у задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции у; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точке разрыва; 3) сделать чертеж.
![]() | ![]() |
91. у = х2– 4, если х ≤ 2 92. у = 9– х2, если х ≤ 1
6–2х, если х > 2 2х+3, если х > 1
![]() | |||
![]() | |||
93. у = 4х+5, если х ≤ -1 94. у = х2+2х, если х ≤ 2
х2-4х, если х > -1 х+1, если х > 2
![]() | ![]() |
95. у = 2х+3, если х ≤ -1 96. у = 4-х2, если х ≤ -2
3х-х2, если х > -1 3х + 2, если х > -2
![]() | ![]() |
97. у = х2-2х, если х < 1 98. у = 4х+х2, если х < -2
1-4х, если х ≥ 1 2х+4, если х ≥ -2
![]() | |||
![]() | |||
99 у = х2+1, если х ≤ 2 100. у = х2-5, если х ≤ 1
х-3, если х > 2 1-3х, если х > 1