Условие перпендикулярности плоскостей

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

30) Точка пересечения прямой и плоскости.

31) Квадратичные формы. Запись, обозначения. Матрица квадратичной формы.

Определение квадратичной формы

Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

33) Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом ортогональных преобразований.

Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

34) Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра.

Классификация действительных квадратичных форм

Положительно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).

Отрицательно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

Положительно-полуопределенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Отрицательно-полуопределенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Неопределенные

Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δ_i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ_i чередуются, причём Δ₁ < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 для v = (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

35) Канонические уравнения линий 2-го порядка. Эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс (рис. 4.14)

Каноническое уравнение: Эксцентриситет:

Уравнения директрис:

Гипербола (рис. 4.15) нанизывается на ту ось, которая стоит со знаком плюс.

Каноническое уравнение: Эксцентриситет:

Уравнения директрис:

Парабола (рис. 4.16) нанизывается на ту ось, которая стоит без квадрата. Если р>0 то ветви смотрят в сторону возрастания числовой оси.

Каноническое уравнение: Эксцентриситет:

Уравнение директрисы:

36) Поверхности 2-го порядка: цилиндры.

Цилиндр – одна переменная отсутствует. Идет вдоль той оси, переменная которой отсутствует.

X² + Y² = 1

37) Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка: эллипсоид, конус и «седло».

Эллипсоид (рис. 4.18)

Каноническое уравнение:

- трехосный эллипсоид;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

- эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

- сфера.

Конус второй степени (рис. 4.19)

Каноническое уравнение:

a = b - конус вращения (прямой круговой).

Гиперболический параболоид (седло).

Уравнение гиперболического параболоида:

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z₀ поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x₀ или y = y₀ поверхность порождает параболу.

38) Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка: гиперболоиды (одно и двуполостные).

Два плюса, один минус – гиперболоид. Там где минус – нанизывается поверхность.

Однополостный гиперболоид (рис. 4.20)

Каноническое уравнение:

a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21)

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Эллиптический параболоид (рис. 4.22)

Каноническое уравнение:

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.