Т.к. функция определена на всей плоскости)

2) = = = =0

сделаем замену t= , t→0 при x→0, y→0

Замечание. Для функции f(х₁,х₂,…,х_n) нескольких переменных, как и для функции одной переменной, можно ввести понятие бесконечного предела, а также понятие предела , когда точка неограниченно удаляется от начала координа, т.е. когда ®+¥.

Бесконечно малые и бесконечно большие вводятся так же, как и в случае функции одной переменной.

Определение. Функция f(М) называется бесконечно малой при М®М₀, если

=0.

Функция f(М) называется бесконечно большой при М®М₀, если

=¥, +¥, -¥.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, установленные для случая функций одной переменой, распространяются на случай функции нескольких переменных. Сохраняются так же понятия порядка, эквивалентности бесконечно малых и бесконечно больших и свойства, связанные с этими понятиями.

Сохраняются и свойства конечных пределов.

1. Число А является пределом функции f(М) при М®М₀ тогда и только тогда, когда разность f(М)-М₀ есть бесконечно малая при М®М₀.

Или число А является пределом функции f(М) при М®М₀ тогда и только тогда, когда f(М)=А+a(х₁,х₂,…,х_n), где a(х₁,х₂,…,х_n) – б.м. при М®М₀.

2. если существует конечный предел , то при любом постоянной С существует конечный предел , причем

=С×

3. Если существуют конечные пределы и , то существует и конечный предел , причем

= ±

Это свойство распространяется на любое фиксированное число слагаемых.

4. Если существуют конечные пределы и , то существует и конечный предел , причем

= ×

Это свойство распространяется на любое фиксированное число сомножителей.

5. Если существуют конечные пределы и , причем ¹0, то существует конечный предел , причем

=

6. Если в некоторой окрестности точки М₀ р(М)£f(M)£g(M) и если = =А, то и =А.

Повторные пределы.

Кроме рассмотренного предела функции f(х₁,х₂,…,х_n) при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, рассматриваются пределы, получаемые в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Первый предел называется n-кратным (двойным, тройным и т.д. при n=2,3,..), а последний – повторным.

Рассмотрим функцию двух переменных f(х,у).

Допустим, что область изменения переменных х и у такова, что х (независимо от у) может принимать любое значение в некотором множестве Х, для которого а служит точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогично у (независимо от х) изменяется в множестве У с не принадлежащей ему точкой сгущения b. Такую область можно символически обозначить как Х´У.

Пусть, например, она задана в прямоугольнике (Р)= . Пусть при каждом фиксированном х из (a,c] существует конечный предел . Предел будет представлять собой функцию от х, определенную в промежутке (a,c] , т.е.

=j(х), хÎ(a,c].

Пусть существует конечный предел m= . Число m называют повторным пределом функции f(х,у) в точке А(а,b):

m=

Пусть при каждом фиксированном y из (b,d] существует конечный предел . Предел будет представлять собой функцию от y, определенную в промежутке (b,d] , т.е.

=y(y), yÎ(b,d].

Пусть существует конечный предел n= . Число n будет другим повторным пределом функции f(х,у) в точке А(а,b):

n=

Пример. Для функции f(x,y)= в точке О(0,0) найти повторные пределы и доказать, что у этой функции в точке О(0,0) нет двукратного предела.

1) При фиксированном х¹0 имеем:

= =1, т.е. jº1, хÎ(-¥;0)È(0;+¥). Тогда

= =1, т.е. m=1.

2) При фиксированном у¹0 имеем:

= =-1, т.е. yº-1, уÎ(-¥;0)È(0;+¥). Тогда

= =-1, т.е. n=-1.

Т.о., в точке (0,0) существуют оба повторных предела и m¹n.

3) Покажем, что в точке (0,0) не существует предела в обычном смысле.

Возьмем последовательность точек . "kÎN точки M_k принадлежат области существования функции, ¹(0,0), и M_k ®О(0,0) при k®¥.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(M₁)=0, f(M₂)=0,…,f(M_k)=0,… . Следовательно, f(M_k)®0, при k®¥.

Возьмем последовательность точек "kÎN точки принадлежат области существования функции, ¹(0,0), и ®О(0,0) при k®¥.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f( )= , f( )= ,…,f( )= ,… . Следовательно, f( )® , при k®¥.

Следовательно, предела в обычном смысле нет.