Базис. Разложение вектора по базису.
Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.
Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а . Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.
Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
В b
a C
А
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
![]() | ![]() |
a b
К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.
Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную
из данных векторов.
В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.
Система векторов аֽ..., аnназывается линейно-зависимой, если существуют числа λ1 , ..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а1 + ...+ λn аn =0. В противном случае система называется ли нейно – независимой.
Проекция вектора.
Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пре ≤ |а| · cosφ.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:
Пре (а + в)=преа + прев.
Пусть даны точки А(x1,у1,z1) и В(х2,у2,z2). Проекция вектора а=АВ на оси координат: прx АВ=X=х2-х1
Прy АВ=Y=у2-у1 (1)
Прz АВ=Z=z2-z1
т.е а = {х2-х1; у2-у1; z2-z1}
Базис. Разложение вектора по базису.
Если е1, е2, е3 – базисы, то а = х1е1+х2е2+х3 е3 (2)
Числа х1, х2, х3 называются координатами вектора а в базисе β=(е1,е2,е3). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.
Скалярным произведением двух векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: (
) =
= |
|×|
|×cosφ
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
- Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):
=
- Распределительное свойство. (
+
)
=
+
.
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е.
2= |
|2
- Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ
) = (
, λ
) = λ(
)
- Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ
+ μ
,
) = λ(
,
) + μ(
,
)
Косинус угла φ= (
) между двумя ненулевыми векторами
и
равен cosφ=
.
Два вектора и
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Пусть =ax
+ ay
+ az
и
=bx
+ by
+ bz
, тогда
=axbx+ayby+azbz, здесь учтены, что
=
=
= 0 и
=
=
= 1
Поэтому косинус угла φ между двумя векторами и
определяется cosφ= (axbx+ayby+azbz)/ (|
||
|)
Для перпендикулярных векторов и
имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или axbx+ayby+azbz=0.
Под векторным произведением двух векторов и
понимается вектор
=
×
=[a.b], для которого:
1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟( ), (0≤φ≤π) (рис 4.1);
рис 4.1
2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. ┴
и
┴
;
3. Если векторы неколлинеарные, то векторы ,
образуют правую тройку векторов.
Основные свойства векторного произведения.
1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. ×
=-(
×
)
2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. ×
=0
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ ×
) = (
×λ
) = λ(
×
)
4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство ( +
)×
=(
)+(
)
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и
:
×
=0
Пусть =ax
+ ay
+ az
и
=bx
+ by
+ bz
, тогда
×
=
| ay az| -
| ax az| +
| ax ay|
| by bz| |bx bz| | bx by |
Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка
|
|
×
= | ax ay az|
|bx by bz|
Под смешанным произведением и
понимается число
Построим параллелепипед (рис 4.2),
рис 4.2
Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы и
. Тогда |
×
|=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах
и
, т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр
= ±|
| cosφ, где
=
×
и знак плюс соответствует острому углу φ=∟(
,
), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы
,
образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому
=
= S np
=±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах
,
. Отсюда
=±V.
Основные свойства смешанного произведения
-
=
=
-
=
=
=
=-
Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов ,
:
=0
Если = ax
+ ay
+ az
,
=bx
+ by
+ bz
,
=сx
+ сy
+ сz
то
| ax + ay + az|
=| bx+ by + bz|
| сx + сy + сz|
Задание на СРС:
1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]
2. Решить №1,3 из [2-стр. 273; 4], по вариантам.
Задание на СРСП:
1. Разложение вектора по базису. [3 – стр. 156 ]
Контрольные вопросы