Тема 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия. Общее и частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условие существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 4. Случайные события

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Вероятность события. Теоремы сложения вероятностей.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула Бернулли.

Тема 5. Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их свойства. Начальные и центральные моменты случайных величин.

Основные законы распределения случайных величин: равномерное, Бернулли, Пуассона, экспоненциальное, нормальное.

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Многомерные случайные величины. Функция распределения и плотность двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.

Тема 6. Случайные процессы

Случайные процессы. Функция распределения и плотность для случайного процесса. Характеристики случайных процессов.

Марковские процессы. Потоки событий. Цепи Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова. Условие единственности и нахождение стационарных вероятностей для цепи Маркова.

Тема 7. Основы математической статистики

Задачи и основные понятия статистики. Выборочный метод. Генеральная совокупность и выборка, вариационный ряд, полигон частот, гистограмма, эмпирическая (статистическая) функция распределения. Числовые характеристики выборочного распределения.

Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.

Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для оценки характеристик генеральной совокупности.

Тема 8. Проверка статистических гипотез

Понятие статистической гипотезы. Общая схема проверки статистической гипотезы. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух совокупностей. Проверка гипотез о законе распределения выборки. Проверка гипотез об однородности выборок.

Тема 9. Регрессионный анализ. Элементы дисперсионного анализа

Линейная парная регрессия. Коэффициент детерминации. Проверка значимости уравнения регрессии. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии.

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Ряды

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать непосредственно сходимость рядов и найти их суммы

на дом .

Решить задачи [Л1, с.741]:

13.19 на дом 13.20; 13.22.

3. Исследовать сходимость знакопостоянного числового ряда

а) ; б) ; в) ;

на дом а) ; б) ; в) .

Решить задачи [Л1, с.748 – 750]:

13.38; 13.61; 13.64; 13.84

на дом 13.67, 13.71; 13.90 – 13.92.

4. Исследовать сходимость знакочередующегося числового ряда

а) ; б) ;

Решить задачи [Л1, с.753, 754]:

13.106, 13.113 на дом 13.120, 13.123.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решить задачи [Л1, с.776]:

14.11; 14.15; 14.21 на дом 14.14; 14.20; 14.21; 14.23; 14.27.

3. Разложить функции в ряд Маклорена и найти радиус сходимости ряда

а) ; б) .

4. Решить задачи [Л1, с.783]:

14.41, 14.43, на дом 14.45; 14.52; 14.66.