Использование сдвига для улучшения сходимости

Так же, как и прямой степенной, обратный степенной метод может оказаться медленно сходящимся. Напомним (см формулу (11.2)), что вектор , принятый как начальный, можно представить как линейную комбинацию собственных векторов исследуемой матрицы :

. (11.13)

Тогда после -го шага обратного степенного метода

. (11.14)

Ясно, что вектор тем скорее станет доминирующим, чем больше будет отношение . Быстрее всего последовательность (11.14) сходилась бы, если бы было очень малой величиной, близкой к нулю. К сожалению, мы поменять не можем – ведь это и есть та величина, которую надо определить.

Вспомним, однако, свойство операции сдвига матриц:

Операцией сдвига по отношению к матрице называется вычитание из всех ее диагональных элементов одного и того же числа. Так, выражение

означает, что матрица получена в результате сдвига матрицы на .

Для приложений очень важно следующее свойство этой операции: в результате операции сдвига собственные значения матрицы изменяются на величину сдвига, а соответствующие собственные вектора остаются прежними. В самом деле, пусть собственное значение матрицы , а – соответствующий собственный вектор. Тогда

.

Если – собственные значения матрицы и – соответствующие собственные векторы, то матрица имеет собственные значения и собственные векторы .

Согласно этому свойству, если нам будет известно достаточно хорошее приближение , то обратный степенной метод для матрицы будет сходиться значительно быстрее, чем для матрицы . Полученные для минимальное собственное значение (обозначим его ) и собственный вектор позволяют определить минимальное собственное значение и собственный вектор матрицы .

Остается вопрос, откуда взять хорошее приближение для ? Практика и теоретические исследования показали, что лучшим выбором является отношение Рэлея:

, (11.15)

где, вообще говоря, – произвольный вектор; мы же будем брать в качестве вектор, полученный в результате очередной итерации.

Более подробно это отношение и его свойства будут рассмотрены в следующих лекциях. Здесь же отметим еще, что для произвольного вектора

, (11.16)

причем равенство достигается в случае, если является первым собственным вектором матрицы .

Пример.Вновь рассмотрим ту же матрицу

с тем же начальным вектором

.

Кстати, поясним несколько странный выбор начального вектора в трех примерах этого параграфа. Обычно при применении степенных методов, не мудрствуя лукаво, в качестве начального вектора берут вектор с единичными элементами, т.е. следовало бы принять . Однако в этом случае точно совпало бы с собственным вектором матрицы . Поэтому для того, чтобы показать, как в процессе итераций от исходного неточного вектора происходит постепенное приближение к собственному, пришлось немного «испортить» начальный вектор.

1-я итерация:

Как видим, уже первая итерация дала такую точность, какую методы без сдвига достигали лишь после третьей итерации. Для убедительности примера все-таки проведем еще одну итерацию.

2-я итерация:

Метод Якоби

Вспомним, что если – ортогональная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду: , то столбцы – собственные вектора матрицы , а элементы диагональной матрицы – ее собственные значения.

Ортогональные матрицы

Определение. Матрица

называется ортогональной, если ее столбцы ортонормированны, то есть

.

Следствие.Для ортогональной матрицы ее обратная матрица равна ее транспонированной, т.е. или, что то же самое, .

Еще одно следствие. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. В самом деле, если и , то

.