Б. Метод відносного руху суден
Покажемо, що цю задачу можна розв’язати, розглядаючи відносний рух суден.
Абсолютна швидкість будь-якої точки
(відносно нерухомої системи відліку) при складному русі визначається формулою
, (16)
де
– відносна швидкість точки
в рухомій системі та
– переносна швидкість точки за рахунок руху системи. Тоді для швидкості відносного руху точки
отримуємо
. (17)
Введемо рухому систему відліку , початок якої сумістимо з судном
. У наступні моменти часу система
буде рухатися зі швидкістю
по траєкторії
(рис. 4.1) абсолютного руху судна
. При цьому декартові вісі абсолютної
та рухомої
систем будуть залишатися паралельними (
та
). Тоді швидкість точки
буде відігравати роль переносної швидкості
. (18)
Отже, в системі судно
буде залишатися нерухомим, а судно
буде рухатися з відносною швидкістю
, яку знаходимо з формули (17) з урахуванням (18)
. (19)
Спочатку розв’яжемо задачу графічно. За допомогою транспортира та лінійки будуємо початкове положення суден та
. Оберемо зручний для швидкостей масштаб, наприклад, 1 см = 2 вузла та побудуємо вектори абсолютних швидкостей суден
та
(рис. 4.3). Щоб графічно побудувати вектор відносної швидкості
треба згідно (19) до вектора
додати вектор (
) (рис. 4.3).
Траєкторія руху судна В відносно нерухомого судна А лежить на векторі і визначає лінію відносного руху
. Положення цієї лінії свідчить про те, що в нашому випадку судно В пройде перед судном судна А (по носу).
Для того, щоб знайти найкоротшу відстань між суднами, треба з точки А опустити перпендикуляр на лінію відносного руху – так ми отримуємо точку С. Вимірюємо мінімальну відстань між суднами dкр =
= 2,1 милі.
Щоб визначити час розходження, потрібно відстань (вимірювання дає
≈ 9,1 миль) поділити на швидкість відносного руху. Вимірюємо довжину вектора
та знаходимо модуль відносної швидкості
= 19,5 вузлів. Отже
= 9,1/19,5 ≈ 0,47 годин
28 хв.
Щоб розв’язати задачу аналітично,запишемо вирази для векторів швидкостей суден. Оскільки декартові вісі рухомої та абсолютної систем лишаються паралельними, то:
=
, (20)
=
. (21)
Тоді для вектора відносної швидкості отримуємо
+ (22)
Зауважимо, що отримані раніше вирази (9) та (10) для величин та
визначають компоненти відносної швидкості
та
, відповідно. Після цього підрахуємо модуль відносної швидкості
= 19,4 (вуз.). (23)
Рівняння лінії відносного руху можна записати як рівняння прямої, що проходить через точку вздовж вектора
, тому воно має вигляд
, (24)
де = 8,30 (милі) та
= 4,41 (милі) та
– тангенс кута нахилу лінії відносного руху до осі x, який знаходимо через компоненти вектора відносного руху
. (25)
Найкоротша відстань між суднами визначиться віддаллю точки А(0,0) від цієї прямої, тому
. (26)
Зауважимо, що формула (26) співпадає з формулою (15). Підставляючи дані, отримуємо
= 2,00 (милі).
Для знаходження моменту часу, коли судно буде в точці
, потрібно віддаль
поділити на модуль відносної швидкості
. (27)
Величину розраховуємо їз прямокутного трикутника
= 9,18 милі,
тоді
годин » 28 хв.
Таким чином усіма методами ми отримали близькі результати, які вказують, що швидкість відносного зближення суден = 19,4 вузла, вони розійдуться через
» 28 хв. на найкоротшій відстані
= 2,0 милі.
Більш того, розв’язок задачі методомвідносного руху суден, дозволяє узагальнити задачу на випадок розходження суден в області дії постійної течії, бо відносна швидкість в цьому випадку не зміниться. Дійсно
. (28)
Відповідь: = 2,00 милі та
= 28 хв.