VI-а. Прямая в пространстве
IV. Векторная алгебра
4.1. Найдите расстояние между точками и
. #
4.2. Найдите координаты середины отрезка , где
,
.
4.3. Найдите направляющие косинусы вектора .
.
4.4. Найдите углы наклона вектора к осям координат.
.
4.5. Найдите скалярное произведение векторов и
, если известно, что
,
, а скалярное произведение
.
4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов отрицательно?
Если угол между ними тупой.
4.7. Может ли скалярное произведение быть больше произведения длин векторов-сомножителей?
Нет, не может.
4.8. Найдите косинус угла между векторами и
.
4.9. Найдите проекцию вектора на направление вектора
.
–1
4.10. При каком значении векторы
и
ортогональны?
При .
4.11. При каких значениях и
векторы
и
будут коллинеарными?
При .
4.12. Выясните, является тройка ,
и
правой или левой.
Правой.
4.13. Найдите длину векторного произведения , если
,
и их скалярное произведение равно
4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и
.
4.15. При каком векторы
,
,
будут компланарными.
При .
4.16. Найдите смешанное произведение векторов
,
,
.
4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,
,
.
4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам и
, составляющий тупой угол с осью ординат и такой, что его длина равна
.
#
4.19. Найдите координаты вектора , где
,
.
#
4.20. При каком векторы
и
перпендикулярны?
При .
4.21. Вычислите векторное произведение , если
и
.
.
4.22. Даны векторы ,
и
. Вычислите скалярное произведение
.
4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален векторам и
?
.
4.24. Вычислите углы треугольника с вершинами
,
и
.
,
,
.
4.25. Упростите векторное произведение .
4.26. Вектор , удовлетворяющий уравнению
, равен…
… .
4.27. Вектор , удовлетворяющий уравнению
, равен…
… .
4.28. Длина векторного произведения векторов и
равна…
…3.
IV-а. Векторная алгебра
4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов-сомножителей, если …
# … угол между векторами равен нулю.
4-а.2. Векторы и
перпендикулярны тогда и только тогда, когда …
# … длины векторов и
равны.
4-а.3. Пусть и
. Скалярное произведение
. Тогда …
# … .
4-а.4. Даны точки и
. Тогда координаты вектора
составляют …
# …
4-а.5. Направляющие косинусы вектора равны …
# … .
4-а.6. Известно, что ,
, а скалярное произведение
. Тогда скалярное произведение векторов
и
равно …
# … 3.
4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если …
# … если векторы взаимно перпендикулярны.
4-а.8. Косинус угла между векторами и
равен …
# … .
4-а.9. Проекция вектора на направление вектора
равна …
# … 8.
4-а-.10. Пусть и
. Тогда вектор
имеет координаты …
# … .
4-а.11. Векторное произведение — это …
# … вектор, перпендикулярный векторам и
.
4-а.12. В результате упрощения векторного произведения получим
# … .
4-а.13. Векторы ,
будут коллинеарны …
# … ни при каком .
4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном произведении …
# … оно меняет знак.
4-а.15. Площадь треугольника равна 3. Тогда длина векторного произведения
равна …
# … 6.
4-а.16. Пусть ,
, их скалярное произведение
. Тогда длина векторного произведения
равна …
# … 48.
4-а.17. Векторы и
ортогональны при …
# … .
4-а.18. Смешанное произведение трех взаимно перпендикулярных векторов …
# … равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка является левой.
4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,
,
, равен …
# … 6.
4-а.20. Даны векторы ,
и
. Тогда векторное произведение
равно # …
.
-а.21. Длина векторного произведения векторов и
равна …
# … .
4-а.22. Смешанное произведение векторов ,
и
равно …
# … 39.
4-а.23. Вектор , удовлетворяющий уравнению
, равен…
# … .
4-а.24. Векторы и
перпендикулярны …
# … при .
4-а.25. Пусть скалярное произведение , угол между векторами
и
равен
. Тогда скалярный квадрат векторного произведения этих векторов
(т.е. ) равен …
# …3.
V. Плоскость
5.1. Найдите, при каком значении плоскость
будет перпендикулярна плоскости
.
При .
5.2. Найдите, при каких и
плоскости
и
параллельны?
При .
5.3. Найдите угол между плоскостью и координатной плоскостью
.
5.4. Найдите расстояние от точки до плоскости
.
5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки ,
,
.
5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку и прямую пересечения плоскостей
и
.
5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
.
.
5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой
, где
и
.
.
5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,
и
.
.
5.10. Найдите угол между плоскостями и
.
5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку , если нормальный вектор этой плоскости
.
.
5.12. Плоскость
…
… параллельна оси .
5.13. Плоскость проходит через ось
, если…
… .
Эта плоскость не может проходить через ось .
5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно вектору
.
.
5.15. При каких и
прямая
лежит в плоскости
?
.
5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями и
.
и
.
5.17. Найдите расстояние между плоскостями и
.
5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью .
5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через начало координат и точки и
.
.
5.20. Определите, как расположены точки и
относительно плоскости
.
По разные стороны от плоскости, причем точка по ту же сторону, что и начало координат.
5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно
, если
,
.
.
5.22. Установить, при каком значении плоскость
будет параллельна плоскости
?
Ни при каком.
5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости .
5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам и
.
.
5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,
параллельно вектору
.
.
5.26. При каком значении точки
,
,
и
принадлежат одной плоскости?
При .
V-а. Плоскость
5-а.1. Плоскость будет перпендикулярна плоскости
при …
# … .
5-а.2. Плоскости и
параллельны при …
# … .
5-а.3. Расстояние от точки до плоскости
равно…
# … .
5-а.4. Уравнение плоскости, проходящей через точки ,
,
, имеет вид …
# … .
5-а.5. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
, имеет вид …
# … .
5-а.6. Угол между плоскостями и
равен …
# … .
5-а.7. Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку
, имеет вид …
# … .
5-а.8. Плоскость проходит через ось
, если…
# … и
.
5-а.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно вектору
, имеет вид …
# … .
5-а.10. Расстояние между плоскостями и
равно …
# … .
5-а.11. Объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью , равен …
# … .
5-а.12. Точки и
расположены относительно плоскости
…
# … по одну сторону, противоположную стороне, где лежит начало координат.
5-а.13. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам и
, имеет вид …
# … .
5-а.14. Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка , где
,
, перпендикулярно этому отрезку, имеет вид …
# … .
5-а.15. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
, имеет вид…
# … .
VI. Прямая в пространстве
6.1. Какой из указанных ниже векторов является направляющим вектором прямой ?
.
6.2. Запишите канонические уравнения прямой, если ее параметрические уравнения имеют вид
.
6.3. Запишите параметрические уравнения прямой
.
6.4. При каком значении прямая
будет перпендикулярна прямой
При .
6.5. При каких значениях и
прямые
и
параллельны?
При .
6.6. Установите взаимное расположение прямых и
Прямые скрещиваются.
6.7. При каких значениях и
прямая
и плоскость
будут перпендикулярны?
При .
6.8. Найдите угол между прямой и плоскостью
.
.
6.9. Установите взаимное расположение прямой и плоскости
?
Прямая лежит в указанной плоскости.
6.10. Найдите расстояние от начала координат до прямой .
6.11. Найдите расстояние между прямыми и
.
6.12. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости
.
.
6.13. В какой точке прямая, проходящая через точки и
, пересекает координатную плоскость
?
6.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой
.
6.15. Запишите канонические уравнения прямой
.
6.16. Составьте параметрические уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к плоскости
.
.
6.17. При каком значении прямая
параллельна плоскости
?
При .
6.18. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой
.
6.19. При каком прямая
пересекает ось
?
При .
6.20. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и
.
.
6.21. Направляющим вектором прямой является вектор…
… .
6.22. Канонические уравнения оси ординат имеют вид…
… .
6.23. Параметрические уравнения медианы треугольника
, где
,
,
, имеют вид…
…
6.24. Канонические уравнения прямой, делящей пополам угол между положительными направлениями осей и
, имеют вид…
… .
6.25. Направляющим вектором прямой служит вектор…
… .
VI-а. Прямая в пространстве
6-а.1. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами
# … .
6-а.2. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# ... .
6-а.3. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# … .
6-а.4. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# … .
6-а.5. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# … .
6-а.6. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# … .
6-а.7. Направляющим вектором прямой является вектор с координатами …
# … .
6-а.8. Каноническими уравнениями прямой являются …
# … .
6-а.9. Каноническими уравнениями прямой являются …
# … .
6-а.10. Параметрическими уравнениями прямой являются…
# … .
6-а.11. Параметрическими уравнениями прямой являются …
# … .
6-а.12. Прямая принадлежит плоскости …
# … .
6-а.13. Прямая принадлежит плоскости …
# … .
6-а.14. Прямая будет перпендикулярна прямой
при …
# … .
6-а.15. Прямые и
…
# … пересекаются.
6-а.16. Прямая перпендикулярна плоскости
при …
# … .
6-а.17. Расстояние от точки до прямой
равно …
# … 3.
6-а.18. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости
, имеют вид …
# … .
6-а.19. Прямая параллельна плоскости
при …
# … .
6-а.20. Прямая пересекает ось
при …
# … .