Министерство образования саратовской области 7 страница

Найденное значение подставляем в уравнение ( ) и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

Рис.7

N₁ = см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁= кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

ВАРИАНТ №26

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

y F₁ Дано:

F₁ = 65 кН, F₂ = 45 кН,

F₃ = 25 кН, α₁ = 20 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 10 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

Решение.

1. Аналитический метод.

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

Величину равнодействующей найдем по формуле

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

y

x

Рис.2

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

ее величина

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

Рис.3

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 40 кН.

В 40^о 40^о С

40^о

А F

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

В С

1 40^o 40^o 2 N₁ N₂

40^o 40^o

A F A F

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

(1)

(2)

Из уравнения ( ) находим усилие :

Найденное значение подставляем в уравнение ( ) и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

Рис.7

N₁ = см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

ВАРИАНТ №27

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

y F₁ Дано:

F₁ = 25 кН, F₂ = 65 кН,

F₃ = 45 кН, α₁ = 30 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 120 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

Решение.

1. Аналитический метод.

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

Величину равнодействующей найдем по формуле

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

y

x

Рис.2

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

ее величина

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

Рис.3

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 30 кН.

В 40^о 40^о С

40^о

А F

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

В С

1 40^o 40^o 2 N₁ N₂

40^o 40^o

A F A F

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

(1)

(2)

Из уравнения ( ) находим усилие :

Найденное значение подставляем в уравнение ( ) и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

Рис.7

N₁= см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

ВАРИАНТ №28

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

y F₁ Дано:

F₁ = 90 кН, F₂ = 70 кН,

F₃ = 50 кН, α₁ = 75 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 85 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

Решение.

1. Аналитический метод.

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

Величину равнодействующей найдем по формуле

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

y

x

Рис.2

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

ее величина

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

Рис.3

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 85 кН.

В 70^о

FС

А 60^о

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

B 70^o N₁ N₂

1C

A 2 60^o

F F A

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

(1)

(2)

Из уравнения ( ) находим усилие :

Найденное значение подставляем в уравнение ( ) и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

Рис.7

N₁ = см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

ВАРИАНТ №29

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

y F₁ Дано:

F₁ = 80 кН, F₂ = 80 кН,

F₃ = 40 кН, α₁ = 20 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 135 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

Решение.

1. Аналитический метод.

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

Величину равнодействующей найдем по формуле

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

y

x

Рис.2

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

ее величина

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

Рис.3

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 85 кН.

В 70^о

FС

А 60^о

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

B 70^o N₁ N₂

1C

A 2 60^o

F F A

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

(1)

(2)

Из уравнения ( ) находим усилие :

Найденное значение подставляем в уравнение ( ) и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.