Первообразная для функции и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x)выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = j(x) + C

то

f '(x) = j'(x)

или

f '(x)dx = j'(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j(x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = j'(x) или df(x) = dj(x),

то

f(x) = j(x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx -подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Правила интегрирования, Таблица интегралов

21.Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, и интегрирование по частям. Примеры.

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Метод замены переменной–основан на использовании формулы где z–новая переменная, связанная с x соотношением , непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Справедливость этой формулы следует из того, что равны дифференциалы ее левой и правой частей (проверьте).

Метод интегрирования по частям.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Примеры: