Раздел 3. дифференциальное исчисление
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Производная функции
Задание 83.Найти производные функций:
1. а) y=x5-4x -2x+3; б) y=x2.cosx; в) y= ;
2. а) y=x7+2x4- +5; б) y=x3 . 5x ; в) y=ln(x2+cos3x) ;
3. а) y=2x8-3x2+ -2; б) y=tgx . ex; в) y= ;
4. а) y=x4-5x3+2x; б) y= ; в) y=sin(1-5x2);
5.а) y=3x6+5x4-x+7; б) y=x7 . ctgx; в) y=arcsin7x;
6. а) y=4x5-x2+ +4; б) y= ; в) y=arctg ;
7.а) y=2x5+x4-x+3; б) y=x5 ' 4x; в) y=arccos(6x-3);
8.а) y=x10-3x5+4x-2; б) y= ; в) y=ln(2+5x);
9. a) y=x8+4x2-9x+5; б) y=x3 ' lnx; в) y=2sinx;
10. а) y=4x7-5x3-x+1; б) y= ' tgx; в) y=ecos3x;
11. а) y=7x5+ 2x3-3 ; б) y= ; в) y=ln(1-7x+x2);
12. а) y=5x4-2x2+ -1; б) y=x3' sin2x; в) y= ;
13. а) y=9x5+3x4-7x+2; б) y=log x' 4x; в) y=tg(4x+3);
14. а) y=2x6-7x3+4 ; б) y= ; в) y=2arctg7x;
15. а) y=5x7+4x+3 ; б) y=x4'sinx; в) y=ln(1+sinx);
16. а) y=sinx+3x2-5; б) y= ; в) y=tg(2x-1);
17. а) y=x7-2x3+4x-1; б) y=x5' lnx; в) y=arccos7x;
18. а) y=3x4+5x - ;б) y=x3' cosx; в) y=9ctg(5-x);
19. а) y=4x3+5x2-3; б) y= ; в) y= ;
20. а) y=x6+9x3-7x+2; б) y=x4' cosx; в) y=log (4x+3);
21. а) y=3x7+2x4-9; б) y= ; в) y=e ;
22. а) y=2x+3x2+4x-1; б) y=x3' cosx; в) y=ln(x-sin2x);
23 .а) y=x5-2x4+9x-7; б) y=x5' sinx; в) y= ;
24. а) y=3x8-7x3+5; б) y=x4'5x; в) y=tg(9x+4);
25. а) y=4x7-2x+8; б) y= ; в) y=sin(5+lnx);
26. а) y=x8-4x3+6x-2; б) y=x4' ex; в) y=arctg(2x+3);
27. а) y=6x-1+4x; б) y=x5' sinx; в) y= ;
28. а) y=4x8-9x+3; б) y= ; в) y=sin(5+ln2x);
29. а) y=9x2+6x-4; б) y=x6' cosx; в) y=(5+sinx) ;
30. а) y=5x3-4x2+3x-6; б) y= ; в) y=(4x+tg3x).
Задание 84.График функции y=f(x) изображен на рисунке:
Чему равна производная этой функции в точке x0 ?
Задание 85. Найти уравнение касательной к графику функции в точке (1;1).
Задание 86. Закон движения материальной точки имеет вид х(t)=12t3+2t+4, где х(t) – координата точки в момент времени t. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t=1.
Дифференциал функции и его применение
Задание 87. Найти дифференциал функции:
а) у = sin 5x; б) у = 5х2 - 7х + 3.
Задание 88. Найти приближенное значение выражений:
а) ; б) ; в)
Задание 89.Найти приближенно значение выражений:
а) cos 610; б) ln 1,04; в) tg 460; г)e-0,04.
Правило Лопиталя
Задание 90.Вычислить пределы по правилу Лопиталя:
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ;
- ; .
- ; .
- ; ;
- ; ;
- ; ;
- ; .
Исследование функций и построение графиков
Задание 91. На каком из рисунков
1) 2) 3) 4)
изображен график функции, удовлетворяющей на отрезке [a;b] одновременно двум условиям: у меняет знак, ?
Задание 92. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a;b] одновременно выполняются три условия: у>0, <0, >0:
1) 2) 3) 4)
Задание 93.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Задание 94.Найти точки перегиба графика функции
Задание 95.Найти асимптоты графиков функций:
а); б) у = .
Задание 96.Функция y=f(x) задана на отрезке . Укажите количество точек экстремума функции, если график её производной имеет вид
Задание 97.На рисунке изображен график производной функции y=f(x), заданной на отрезке .
Определить точку максимума этой функции.
Задание 98. Дан график производной непрерывной функции, заданной на отрезке :
В какой точке эта функция принимает наименьшее значение?
Задание 99.Исследовать функции и построить их графики:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
25. . 26. .
27. . 28. .
29. . 30. .
Задание 100.Найтинаименьшее значение функции f(х) на отрезке .