Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
2) данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Найти следующие интегралы:
1. 1) 2)
3)
4)
5)
1) На основании свойства 4 постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу 1.20., получим ·
2) Используя свойство 4 и формулу 1.21., получим ·
Проверка: Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.
3) Используя свойства 3 и 4 и формулы 1.21. и 1.20., имеем
Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную
4) ·
5) ·
2. 1) 2)
.
1) ·
2) ·
3. 1) 2)
3)
1) По формуле 1.22. находим ·
2) Так как , то
·
3) Так как , то
·
Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение
4. 1) 2)
3)
1) По формуле 1.23. при получим
·
2) Так как , то
·
3) Так как , то
·
5. 1) 2)
3)
1) так как то
Следовательно,
·
2) Так как то
·
3) Так как , то
·
6. 1) 2)
3)
4)
1) По формуле 1.27. находим ·
2) Так как то
. Следовательно,
·
3) По формуле 1.18. находим ·
4) Так как , то
·
7. 1) 2)
1) По формуле 1.29. получаем ·
2) По формуле 1.30. находим ·
8. 1) 2)
3)
4)
1) По формуле 1.31. находим ·
2) ·
3) По формуле 1.32. находим ·
4) ·
Определенный интеграл.
Определенный интеграл и его непосредственное вычисление.
Пусть функция определена на отрезке
. Разобьем этот отрезок на n частей точками
, выберем на каждом элементарном отрезке
произвольную точку
и обозначим через
длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции
на отрезке
называется сумма вида
Определенным интегралом от функции , непрерывной на отрезке
называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для любой функции , непрерывной на отрезке
, всегда существует определенный интеграл
. Для вычисления определенного интеграла от функции
в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл
, служит формула Ньютона – Лейбница:
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Вычислить следующие определенные интегралы:
1. 1) 2)
3)
По формуле Ньютона – Лейбница получаем:
1) ·
2) ·
3) ·
2. 1) 2)
1) ·
2) ·
3. 1) 2)
1) ·
2) ·
4. 1) 2)
1) ·
2) ·