Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Найти следующие интегралы:

1. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 4) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 5) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) На основании свойства 4 постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу 1.20., получим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Используя свойство 4 и формулу 1.21., получим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

Проверка: Непосредственное интегрирование. - student2.ru Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3) Используя свойства 3 и 4 и формулы 1.21. и 1.20., имеем Непосредственное интегрирование. - student2.ru

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную Непосредственное интегрирование. - student2.ru

4) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

5) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru .

1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) По формуле 1.22. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение Непосредственное интегрирование. - student2.ru

4. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) По формуле 1.23. при Непосредственное интегрирование. - student2.ru получим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то

Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

5. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru то Непосредственное интегрирование. - student2.ru Следовательно,

Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru то

Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

6. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 4) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) По формуле 1.27. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru то Непосредственное интегрирование. - student2.ru . Следовательно,

Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) По формуле 1.18. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

4) Так как Непосредственное интегрирование. - student2.ru , то Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

7. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) По формуле 1.29. получаем Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) По формуле 1.30. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

8. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 4) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) По формуле 1.31. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) По формуле 1.32. находим Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

4) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

Определенный интеграл.

Определенный интеграл и его непосредственное вычисление.

Пусть функция Непосредственное интегрирование. - student2.ru определена на отрезке Непосредственное интегрирование. - student2.ru . Разобьем этот отрезок на n частей точками Непосредственное интегрирование. - student2.ru , выберем на каждом элементарном отрезке Непосредственное интегрирование. - student2.ru произвольную точку Непосредственное интегрирование. - student2.ru и обозначим через Непосредственное интегрирование. - student2.ru длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции Непосредственное интегрирование. - student2.ru на отрезке Непосредственное интегрирование. - student2.ru называется сумма вида

Непосредственное интегрирование. - student2.ru

Определенным интегралом от функции Непосредственное интегрирование. - student2.ru , непрерывной на отрезке Непосредственное интегрирование. - student2.ru называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Непосредственное интегрирование. - student2.ru

Для любой функции Непосредственное интегрирование. - student2.ru , непрерывной на отрезке Непосредственное интегрирование. - student2.ru , всегда существует определенный интеграл Непосредственное интегрирование. - student2.ru . Для вычисления определенного интеграла от функции Непосредственное интегрирование. - student2.ru в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл Непосредственное интегрирование. - student2.ru , служит формула Ньютона – Лейбница:

Непосредственное интегрирование. - student2.ru

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислить следующие определенные интегралы:

1. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

По формуле Ньютона – Лейбница получаем:

1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

3. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

4. 1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru 2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru

1) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

2) Непосредственное интегрирование. - student2.ru ·

Наши рекомендации