Глава 6 Семинарские занятия

Cеминар: Применение производной при исследовании функции

Основные вопросы

1. Признаки монотонности функции.

2.Необходимое условие существования экстремума.

3. Критические точки на экстремум.

4. Достаточные условия существования экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции.

7. Точки, критические на перегиб.

8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.

9. Асимптоты графика функции.

Задания для семинара

№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№2 При каких а функции монотонны всюду:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной

точке хо:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции

в окрестности указанных точек:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№7 Найти асимптоты и построить график: а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

Задания для самостоятельной работы

№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№10 При каких а функции монотонны всюду:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной

точке хо:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции

в окрестности указанных точек:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№ 15 Найти асимптоты и построить график:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке: а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

Ответы

2. а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ; б) при Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , при Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

3.а) при Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , при Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ;

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ;

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ;

г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

4.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.

5.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ; б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

6. а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - выпуклый график, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru -вогнутый; б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - выпуклый график,

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru -вогнутый. 7.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - вертикальные асимптоты, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru наклонная асимптота, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ; б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru горизонтальная асимптота, в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

8.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ; б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

10.a) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

11.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

12.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.

13.а) нет точек экстремума, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

14.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - выпуклый график, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru -вогнутый; б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - вогнутый график,

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru - выпуклый.

15.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru горизонтальные асимптоты, Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ;

б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

16.а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Семинар: Неопределенный интеграл

Вопросы к семинару:

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.

3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.

4. Нахождение интегралов с помощью замены.

5. Метод интегрирования по частям.

Таблица простых интегралов

( х – независимая переменная) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Таблица интегралов сложных функций Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Формула интегрирования по частям Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

таблица выбора функции U(x)

Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru
Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru
Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Правила применения таблицы:

1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.

2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций изоднойстроки, то за U можно принять любуюиз этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство - уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Задания для семинара

№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№2 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

д) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

е) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

ж) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

з) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

и) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№3 (Устно) Найти интегралы

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

д) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

е) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru ,

ж) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , з) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№4 Найти интегралы с помощью замены переменной:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru .

№5 Найти интегралы методом интегрирования по частям:

а) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , б) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , в) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , г) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru . д) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru е) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru , ж) Глава 6 Семинарские занятия - student2.ru

Наши рекомендации