Вектор-функция, ее предел и непрерывность
Глава 3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть Х и Y – два множества, f – отображение Х в Y, т.е. некоторое правило, в силу которого каждому элементу в множестве Y соответствует единственный элемент y =
. Элементы множеств Х и Y могут быть любыми математическими обьектами: числами (вещественными или комплексными), векторами, матрицами и т.п. Иногда термину “отображение” предпочитают термин “функция”. В частности, если Х представляет собой некоторое числовое множество, отображение
чаще на- зывают функцией аргумента х ,
. Если при этом элементы множества Y также яв-ляются числами, f называют числовой или скалярной функцией; о таких функциях шла речь в предыдущих параграфах. Если же множество Y состоит из векторов, отоб- ражение
называют векторной функцией или, короче, вектор-функцией.
Математическое понятие вектор-функции можно иллюстрировать разнообраз- ными примерами векторных величин, вэятыми из механики, физики и других естест- венных наук. Так, хаотичное броуновское движение малой частицы вызвано тем, что вектор действующей на неё силы (равнодействующей столкновений частицы с молеку- лами жидкости или газа) ежемоментно меняется и по направлению, и по величине. Эту силу можно рассматривать как вектор-функцию, аргументом которой является время.
В этом параграфе изложены основы дифференциального исчисления вектор-функций.
Вектор-функция, ее предел и непрерывность
1.1. Основные понятия
Пусть Т – некоторое множество вещественных чисел, и пусть на Т определена вектор-функция (t), т.е. сформулировано некоторое правило, согласно которому каж-дому
Т соответствует единственный вектор
=
(t).. Обозначим через x(t), y(t) и z(t) проекции вектора
(t) на координатные оси соответственно абсцисс, ординат и ап- пликат декартовой прямоугольной системы координат. Очевидно, x(t), y(t) и z(t) – ска- лярные функции, определенные на множестве Т , причём на Т справедливо разложе- ние вектора
(t) по базису, составленному из ортов координатных осей:
= (x(t), y(t), z(t) ).
Функции x(t), y(t) и z(t) называют координатными функциями вектор-функции (t). Следовательно, если на множестве Т определена вектор-функция
(t), то на Т определена и упорядоченная тройка (x(t), y(t), z(t) ) её координатных (скалярных) функ- ций.
Заметим, что справедливо и обратное: если (x(t), y(t), z(t) ) - упорядоченная тройка каких-то скалярных функций, определенных на Т, то на Т можно определить вектор-функцию (t) с помощью равенства:
. Таким образом, задание на каком-либо множествевектор-функции эквивалентно заданию на этом множестве упорядоченной тройки скалярных функций.
Может оказаться, что все значения (t),
, компланарны, т.е. параллельны некоторой плоскости. Введя на этой плоскости декартову прямоугольную систему координат, получим:
, где
и
– проекции вектора
(t) на оси Ox и Oy соответственно. Таким образом, в этом случае задание на множестве T,
, вектор- функции
(t) эквивалентно заданию на T упорядоченной пары скаляр- ных функций:
. Можно, конечно, и здесь считать, что на T задана упорядоченная тройка функций
, причем
на T. Везде ниже мы связываем задание вектор- функции с заданием упорядоченной тройки скалярных функций.
Удобной геометрической интерпретацией вектор- функции является её годограф.По- местим начало вектора
(t) в начало координат и обозначим его конец через
За- метим, что координатные функции образуют набор координат этой точки:
(x(t), y(t), z(t)). Когда t, возрастая, пробегает множество T, точка
перемещается, описывая некоторую кривую Г (см. рис. 1). Эту кривую и называют годографом вектор- функции
(t). Переменную t называют параметром кривой Г, уравнения x = x(t), y = y(t), z = z(t) – параметрическими уравнениями кривой Г Систему
будем называть координатной формой уравнения кривой Г, а эквивалентное этой сис- теме векторное уравнение
,
Т , где
, - векторной формой уравнения этой кривой.
Пример 1. Пусть =
и
=
,
– заданные векторы. Отложим
из начала координат O и обозначим через D прямую, проходящую через конец вектора
, точку В
параллельно
. При всяком вещественном t поло- жим:
. Прямая D является годографом. этой вектор- функции, а система
- координатной формой уравнения прямой.
1.2. Предел вектор- функции в точке
Пусть t0 – вещественное число, а - вектор- функция определенная в проко- лотой окрестности
Пусть, далее,
- некоторый вектор.
Определение.Вектор называют пределом вектор-функции
при t, стремя- щемся к t0 , если для любого ε> 0 можно указать δ>0 такое, что при всех t, принадлежа- щих проколотой δ – окрестности
точки t0 , длина разности векторов
и
меньше ε. .
Если удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать:
=
(
является пределом
при t, стремящемся к t0 ) или
(
стремится к
при t, стремящемся к t0 ).
Итак, равенство
по определению означает:
,
где |t- t0 | есть модуль разности двух чисел, а | -
| - длина разности двух векторов ( см. рис. 2)
Замечание. Обозначим: φ(t) = . Очевидно, φ(t) - скалярная функция, определённая в проколотой окрестности
, причём ( см. выше)
, т.е.,
( см. определение предела скалярной функции на языке «ε-δ»). Таким образом,
тогда и только тогда, когда длина разности
-
является бесконечно малой при t
t0 :
. (1)
Теорема 1 устанавливает связь между пределом вектор-функции и пределами её координатных функций
Теорема 1.(О покоординатной сходимости) Пусть вектор-функция опре- делена в проколотой окрестности
точки t0 , t0
, а x(t), y(t) и z(t) - её координат- ные функции. Пусть, далее,
- некоторый вектор, а
,
его координаты. Вектор
является пределом вектор-функции
при
тогда и только тогда, когда его координаты являются пределами при
соответствующих координатных функций:
►Имеем: =(
) и
. Отсюда:
. Подкоренное выражение представляет собой сумму трёх неотрицательных слагаемых; поэтому левая часть этого равенства стремится к нулю при
тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых стремится к нулю при
, т.е.
( )
, что можно переписать так:
|
( )
(2) Утверждение теоремы следует из (1) и (2). ◄
Следствие.Если =
, то
=|
|. ►
=
=
= |
| . ◄
Замечание. Если =|
|, то вовсе не обязательно справедливо равенство
=
. Вместе с тем, справедливо утверждение:
=
= 0
- это вытекает из (1) как частный случай при =
.
Опираясь на теорему о покоординатной сходимости можно доказывать теоремы о пределах вектор-функций, аналогичные теоремам о пределах скалярных функций.
Теорема 2.(О единственности предела) Если вектор-функция имеет пре- дел при
, то только один.
► Допустим, что вектор-функция имеет при при
два различных предела:
=(
) и
=(
). Так как
≠
, то упорядо- ченные тройки их координат не могут совпадать. Пусть, к примеру,
≠
. В силу тео- ремы о покоординатной сходимости координатная функция x(t) должна при
стремиться и к
, и к
; но это противоречит теореме о единственности предела ска- лярной функции. ◄
Теорема 3.(О действиях над пределами вектор-функций) Пусть в проколотой окрестности точки t0 , t0
, определены вектор-функции
и
и скалярная функция λ(t), и пусть эти функции имеют пределы при
:
,
λ(t)
λ . Тогда:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
► Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме, по- этому достаточно продемонстрировать одно из них . Изложим доказательство утверж- дения 4).
Запишем разложения векторов ,
,
и
по базису
, составлено- му из ортов координатных осей:
,
,
,
. Используя формулу векторной алгебры, запишем разложение вектора векторного про- изведения
:
=
=
= Из теоремы об арифметических действиях с пределами скалярных функций и теоремы о покоординатной сходимости следует:
;
;
. Опираясь на эти равенства и теорему о покоординатной сходимости, теперь получим:
=
=
. ◄
Замечание. Для векторов не определены отношения «больше» или «меньше»; утверждение « вектор больше вектора
» смысла не имеет. По этой причине среди теорем о вектор-функциях нет аналогов тех теорем о пределах скалярных функций, формулировки которых содержат неравенства, а именно, теоремы о предельном пере- ходе в неравенстве, о стабилизации знака неравенства, о «сжатой» функции.
Пусть вектор-функция определена на интервале (α,β) ,
а
- некоторый вектор.
Определение. Вектор назовём односторонним пределом вектор-функции
при t, стремящемся к α справа (при t, стремящемся к β слева ), если для любого ε> 0 можно указать δ>0 такое, что при всех t, принадлежащих интервалу (α, α + δ)
при- надлежащих интервалу (
)
, длина разности
-
меньше ε.
Пусть вектор-функция определена на интервале (α,β) ,
а x(t), y(t) и z(t) - её координатные функции. Пусть, далее,
- некоторый вектор, а
,
его координаты. Справедливы утверждения, аналогичные теореме о покоорди- натной сходимости:
;
.
Доказательства этих утверждений нетрудно скопировать с доказательства тео- ремы о покоординатной сходимости .
Теорема 4. (О связи предела вектор-функции с её односторонними пределами)
Пусть вектор-функция определена в проколотой окрестности
точки t0 , t0
,, а
- некоторый вектор. Для того, чтобы
являлся пределом
при
, необходимо и достаточно, чтобы этот вектор был односторонним пределом
и при t, стремящемся к t0 слева, и при t, стремящемся к t0 справа:
( =
)
(
=
=
) .
►Пусть x(t), y(t) и z(t) - координатные функции вектор-функция , а
,
-координаты вектора
.
Необходимость. Пусть =
. По теореме о покоординатной сходимости
,
,
. Отсюда по теореме об односторонних пределах скалярной функции следует:
,
,
.Отсюда и из сформулированных выше аналогов теоремы о покоординатной сходимости следует:
=
.
Доказывая Достаточность следует приведенные выше рассуждения располо- жить в обратном порядке. ◄
1.3. Непрерывность вектор- функции
Определение. Вектор-функцию называют непрерывной в точке t0 , t0
, если она определена в некоторой окрестности этой точки, а её предел при
равен
.
Теорема 5.(Критерий непрерывности) Пусть вектор-функция определена в окрестности
. t0
. Для того, чтобы
была непрерывной в точке t0, необхо- димо и достаточно, чтобы каждая из её координатных функций была непрерывной в этой точке.
► Пусть x(t), y(t) и z(t) - координатные функции вектор-функции :
Обозначим: х0 = х(t0), у0 = y(t0), z0 = z(t0) ; тогда
. В силу теоремы о покоординатной сходимости
. Отсюда вытекает справедливость утверждений теоремы, так как равенство в левой части есть условие непрерывности вектор-функции в точке t0, а равенства в правой части – условия непрерывности её координатных функций в той же точке. ◄
Разность t – t0 будем называть приращением аргумента t в точке t0 и обозначать через Δt или h. Заметим: t = t0 + Δt= t0 + h. Вектор разности -
=
-
=
-
назовем приращением вектор-функции
в точке t0 и обозначим че- рез Δ
или через Δ
(h), подчеркнув во втором обозначении зависимость этого векто- ра от приращения h = Δt аргумента t. Заметим:
.
Теорема 6 (О приращении непрерывной вектор-функции) Пусть вектор-функция определена в окрестности
. t0
. Для того, чтобы
была непрерывной в точке t0, необходимо и достаточно, чтобы её приращение было бесконечно малым при
:
.
►Пусть
, х0 = х(t0), у0 = y(t0), z0 = z(t0) ; тогда
-
= (x(t)- x(t0), y(t)- y(t0), z(t) - z(t0)), т.е.
Δ (h) =
-
= (x(t0+h )- x(t0), y(t0+h )- y(t0), z( t0+h) - z(t0)) =
= (
По теореме о покоординатной сходимости
( )
(
,
,
). Отсюда и из теоремы 5 вытекает справедливость утверждений теоремы 6, так как по теореме о приращении непрерывной скалярной функции равенства
,
,
представляют собой необходимые и достаточные условия непрерывности в точке t0 соответствующих координатных функций ◄
Определение. Вектор-функцию назовем непрерывной на интервале (α,β) ,
если она непрерывна в каждой его точке. Вектор-функцию
назовём непрерывной на сегменте [α,β] ,
если она непрерывна на интервале (α,β) и, кроме того, непрерывна в точке α справа ( т.е.
) и непрерывна в точке β слева ( т.е.
).