Законы индукции Фарадея и уравнения Максвелла

В.Б. Баранов

Спецкурс (полугодовой)

«Магнитная гидродинамика»

для студентов V курса механико-математического факультета МГУ.

Лекция 120.09.16

В рамках механики сплошных сред магнитная гидродинамика изучает движение электропроводных жидкостей и газов, помещенных в электромагнитное поле. К таким жидкостям и газам относятся, например, жидкие металлы или сильно ионизованные при высокой температуре газы (так называемая «плазма», которая может быть как частично, так и полностью ионизованной). Магнитная гидродинамика имеет широкое применение как в астрофизике для создания моделей физических явлений, встречающихся в условиях космического пространства (солнечный ветер, взаимодействие с ним межзвездной среды, планет и комет солнечной системы, динамические процессы в галактиках и пр.), так и в практических применениях (магнитогидродинамические генераторы и плазменные ускорители, насосы для перекачки жидких металлов и т.п.).

Часто уравнения механики сплошной среды выводятся из кинетических уравнений Больцмана для функции распределения f(r,v,t), которые устанавливают четкие критерии применимости этих уравнений (здесь r, v иt – координата, скорость и время отдельной частицы, соответственно). В частности, должно выполняться неравенство l << L или Kn = l/L <<1, где l – длина свободного пробега частиц газа, L - характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела), Kn – число Кнудсена. Чтобы понять, как движутся свободные заряженные частицы в электрическом E(вектор напряженности электрического поля) и магнитном B(вектор магнитной индукции)полях, необходимо решить для них уравнение движения, которое для частиц с зарядом и массой будет иметь вид

(1)

Здесь введена скорость света , так как используется гауссовская система единиц измерения, где векторы EиBимеют одинаковую размерность, а их квадрат имеет размерность гидростатического давления .

Рассмотрим частный случай движения частицы в постоянных электрическом и магнитном полях. Для этого проинтегрируем уравнение движения (1) в предположении, что магнитное поле направлено вдоль оси Оz, а векторы электрического и магнитного полей лежат в плоскости Оyz, т. е.B =(0, 0, B),аЕ = . Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем

. (3)

Умножая второе уравнение (3) на i и складывая эти уравнения, получим

,

где - циклотронная частота или частота вращения заряженных частиц в магнитном поле. Интегрируя это уравнения, получим

или

(4)

В уравнениях (4) a – постоянная интегрирования, - скорость частицы вдоль оси Оz в начальный момент времени. Отсюда видно, что частица движется вдоль оси Оx перпендикулярно направлению электрического и магнитного полей с постоянной скоростью (в среднем по времени), равной

Эта скорость называется «скоростью дрейфа» частицы в электрическом и магнитном полях. При этом, , а вдоль оси Оz частица движется с ускорением, если

Интегрирование первых двух уравнений (4) приводит к уравнениям

При эти уравнения описывают траекторию, которая будет трахоидой, а в случае - циклоидой. Если , то частицы движутся по круговым траекториям. Такое движение обычно называют циклотронным или ларморовским вращением заряженных частиц.

Следует заметить, что уравнения классической магнитной гидродинамики (см., например, Куликовский А.Г. и Любимов Г.А., «Магнитная гидродинамика», Физматгиз, 1962) не учитывают эффекты вращения заряженных частиц в магнитном поле, поскольку считается, что , где - частота их столкновений с другими частицами газа, и эффект их вращения пренебрежимо мал.

Чтобы получить электромагнитную силу, действующую на элементарный макроскопический объем , надо уравнение (1) просуммировать по всем частицам в этом объеме. Тогда для электромагнитной силы , действующей на единицу массы этого объема, получим формулу

при

или

, (2)

где - макроскопическая плотность газа, называется плотностью заряда, а есть плотность электрического тока в жидком объеме . Здесь суммирование идет по сортам частиц (индекс k), - концентрация частиц сорта k, а - их средняя скорость. Силу (2) необходимо добавить в макроскопические уравнения движения для электропроводной жидкости или газа.

Лекция 2 27.09.16

Уравнения гидроаэромеханики выводятся либо макроскопическим методом, используя понятие сплошности среды, либо методом моментов, используя уравнение Больцмана для функции распределения частиц. Для получения уравнений магнитной гидродинамики будем использовать первый подход.

Рассмотрим элементарный жидкий объем , ограниченный поверхностью . При своем движении такой объем состоит из одних и тех же частиц, хотя и изменяет свою форму. Очевидно, что для такого объема должны быть выполнены законы сохранения массы, импульса и энергии. Запишем их в интегральной форме, справедливой как для непрерывных, так и для разрывных функций. Закон сохранения массы будет иметь вид

,

где - массовая плотность газа.

Закон сохранения импульса является обобщением второго закона Ньютона применительно к выделенному жидкому объему и имеет вид

,

где - средняя скорость электропроводной жидкости (или газа), а - поверхностная сила, действующая на элемент поверхности жидкого объема с нормалью и может быть представлена, как известно из МСС, в виде суммы нормального и касательного напряжений ( - статическое давление, - тензор вязких напряжений). В качестве объемной силы мы будем в нашем курсе рассматривать только электромагнитную силу (см. формулу (2) Лекции 1).

Закон сохранения энергии запишем в виде

Здесь - внутренняя энергия, первые два члена справа представляют собой работу поверхностных сил, третий член – приток тепла через поверхность , определяемый вектором потока тепла , четвертый член – работа объемных электромагнитных сил, последний член – выделение тепла (так называемое джоулево тепло) за счет протекания электрических токов (штрих означает, что плотность тока и электрическое поле взяты в системе координат, связанной с движущейся жидкостью).

Если воспользоваться формулой для производной по времени от интеграла по движущемуся объему, а, именно, формулой

,

в выписанных выше законах сохранения преобразовать поверхностные интегралы в объемные, то в результате получим уравнения неразрывности, движения и энергии в интегральной форме. Они будут иметь вид

В последнем члене уравнения сохранения энергии использованы преобразования Лоренца в нерелятивистском приближении (принять на веру)

.

Если сплошная среда состоит из частиц только с поступательными степенями свободы, то компоненты тензора вязких напряжений будут иметь вид

,

где µ - коэффициент вязкости. Для тепловых потоков обычно используется закон Фурье

,

где - коэффициент теплопроводности, Т - температура.

В пренебрежении вязкостью и теплопроводностью из интегральных законов сохранения, выписанных выше, для непрерывных подынтегральных функций получим дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии в виде

. (*)

В гидроаэромеханике известно, что для совершенного газа внутренняя энергия определяется по формуле

,

а температура связана со статическим давлением уравнением состояния

( ).

Здесь - теплоемкости при постоянном давлении и объеме, соответственно.

Выписанная выше система уравнений была бы замкнутой для величин . Однако, в электропроводных жидкостях и газах протекание электрических токов создает электромагнитное поле, которое, как видно из выписанных выше уравнений, влияет на течение жидкости и газа. В то же время, электрическое и магнитное поля зависят от течения электропроводных сред. Добавляются заранее неизвестные . Для последних трех величин необходимо дописать уравнения Максвелла и добавить к ним закон Ома (он известен из школьной программы), связывающий плотность тока и электрическое поле.

Лекция 3 04.10.16

Как было отмечено в прошлой лекции, полученная система уравнений магнитной гидродинамики не является замкнутой, поскольку появились новые неизвестные функции . Необходимо добавить уравнения для этих неизвестных.

Законы индукции Фарадея и уравнения Максвелла

(по лекции академика М.А. Леонтовича для студентов 4-го курса физфака МГУ в 1970 году).

В 1831 году Фарадеем, эмпирически, была установлена связь между электрическим и магнитным Bполями. Пропуская электрический ток через проводник с площадью поперечного сечения при помощи электрического поля, он обнаружил, что вокруг проводника в этом случае образуется круговое магнитное поле. Если же через площадь ограниченную контуром С, менять поток магнитного поля, то возникает вихревое электрическое поле, которое приводит к электродвижущей силе. В современном математическом описании этот открытый экспериментально факт может быть записан в виде

, .

Здесь - нормаль к поверхности , - элемент контура С. Ввиду того, что здесь используется гауссовская система единиц измерения, в которой электрическое и магнитное поля имеют одинаковую размерность, а их квадрат имеет размерность статического давления, вводится скорость света «с». Преобразуя в последних уравнениях интегралы по контуру в интегралы по поверхности, получим

При непрерывности подынтегральных функций получаем две пары дифференциальных уравнений, которые и являются законами индукции Фарадея

(1)

Вторая строчка уравнений (1) является математическим выражением известного до Фарадея факта отсутствия магнитных и наличие электрических зарядов.

Более чем через тридцать лет Максвеллом была установлена противоречивость первого уравнения первой пары уравнений (1). Он показал, что это уравнение не удовлетворяет фундаментальному закону сохранения массы, т.е. уравнению неразрывности. Докажем это утверждение.

Взяв операцию “div” от этого уравнения, получим

. (*)

Если теперь уравнение неразрывности для компоненты α

умножить на заряд и просуммировать по α, то получим

. (**)

Очевидно, что (*) и (**) противоречивы.

Для разрешения этого противоречия Максвелл записал первое уравнение первой пары (1) в виде

. (2)

Последний член уравнения (2) был назван «током смещения», физический смысл которого был сначала не очень понятен. Оказалось, что ток смещения проявляется в условиях сильного вакуума, что, естественно, не могло быть замечено в опытах Фарадея. В условиях же вакуума можно пренебречь током проводимости jи из законов Фарадея (1) получаем

Из этих уравнений перекрестным дифференцированием легко получаются следующие волновые уравнения для электрического и магнитного полей

, ,

т.е. оказалось, что в условиях вакуума могут распространяться электромагнитные волны со скоростью света. Таким образом, гениальное теоретическое исправление опытов Фарадея Максвеллом привело к открытию возможностей беспроводной передачи информации на большие расстояния (радио, телевидение, сотовая связь и т.п.).

Систему уравнений механики сплошной среды для электропроводных жидкостей и газов замыкает связь между электрическим током и электромагнитным полем, которая в системе координат, движущейся со скоростью жидкости имеет вид (закон Ома, известный из школьных учебников)

,

где - электропроводность среды. Используя преобразования Лоренца (см. Лекцию 2), из последнего уравнения получаем закон Ома для движущихся со скоростью Vсред

(3)

В дальнейшем будем считать электропроводный газ квазинейтральным. Под этим подразумевается, что положительно заряженные частицы почти компенсируются отрицательно заряженными. Однако «квазинейтральность» не есть нейтральность, т.е. , хотя плотность заряда и мала. С математической точки зрения это означает, что в выписанных уравнениях везде можно пренебречь членами, куда вошла плотность электрического заряда. Оценим эти члены. Покажем сначала, что в уравнении движения (законе сохранения импульса) можно пренебречь электрической силой по сравнению с магнитной. Рассмотрим по порядку величины отношение

~ ~ .

Здесь мы воспользовались первым и последним уравнением в (1) для плотности тока и плотности заряда, а также ввели характерный размер L, на котором существенно меняются параметры среды. Последнее неравенство справедливо в нерелятивистском приближении (см. Лекцию 1). Оценим теперь второй член слева уравнения (3) по сравнению с первым.

~ ~ .

Здесь воспользовались законом Ома для плотности тока. Поскольку электропроводность очень велика (для солнечной короны, например, ~ , а для жидких металлов много больше), то последнее неравенство всегда выполняется. Оценим теперь ток смещения по сравнению с током проводимости в уравнении Максвелла (2). Имеем

~ ,

где - характерное время, за которое меняются параметры среды. Это неравенство также выполняется из-за большой величины коэффициента электропроводности .

Таким образом, во всех выписанных выше уравнениях сплошной среды для электропроводных жидкостей и газов можно пренебречь членами, в которых входит плотность электрических зарядов (квазинейтральность, а не нейтральность), а из последнего неравенства следует, что в уравнениях Максвелла можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. При этом из последнего уравнения в (1), которое отделяется от замкнутой системы уравнений магнитной гидродинамики, можно найти распределение плотности электрического заряда в рассматриваемой среде после решения поставленной задачи.

В следующей лекции будет выписана замкнутая система дифференциальных уравнений в магнитной гидродинамике (МГД) для описания неизвестных функций.

Лекция 411.10.16

Используя результаты, полученные на Лекциях 2 и 3, выпишем замкнутую систему уравнений МГД в пренебрежении вязкостью и теплопроводностью. Уравнение неразрывности можно записать в виде

(1)

Уравнение движения можно записать в форме, если воспользоваться уравнением неразрывности,

(2)

Уравнение энергии (*) в Лекции 2 запишем в виде, который называется уравнением притока тепла. Для этого необходимо использовать уравнение неразрывности, результат дифференцирования ( ), выражение внутренней энергии через температуру ε = с_vT и уравнение движения (2), умноженное скалярно на V. В результате получим

. (3)

Вместе с уравнением состояния

(4)

уравнениями Максвелла в форме

(5)

и обобщенным законом Ома (уравнение (3) Лекции 3)

(6)

система уравнений (1) – (6) будет замкнутой для определения неизвестных функций

и является основной системой уравнений магнитной гидродинамики.

Из (1) – (6) легко исключить плотность тока jи электрическое поле Е.Для этого сначала плотность тока выразим через первое уравнение (5). Тогда, вместо уравнения движения (2), будем иметь

, (7)

а обобщенный закон Ома можно записать в виде

.

Для того, чтобы из последнего уравнения исключить электрическое поле Е, надо применить к нему операцию “rot”, использовать и воспользоваться вторым уравнением (5). При постоянной проводимости σ будем тогда иметь

. (8)

Это уравнение является одним из самых важных в магнитной гидродинамике и называется «уравнением индукции магнитного поля». Осталось исключить плотность тока и электрическое поле из уравнения притока тепла (3). Для этого воспользуемся обобщенным законом Ома (6) и первым уравнением (5). В результате, вместо (3), получим уравнение притока тепла в виде

(9)

Таким образом, система уравнений (1), (4), (7) - (9) будет замкнутой системой уравнений для двух векторных (Vи B) и трех скалярных (ρ, р и Т) величин.

Рассмотрим уравнение (8), которое определяет влияние скорости электропроводной жидкости или газа на вектор индукции магнитного поля В.Поскольку это уравнение имеет вторые производные, то для упрощения решения различных задач естественно понять, при каких условиях ими можно пренебречь. Как известно из гидроаэромеханики, уравнения Навье Стокса из-за вязкости также являются уравнениями второго порядка. Необходимым (но недостаточным) условием справедливости использования уравнений Эйлера является неравенство ( ), т.е. число Рейнольдса должно быть велико, или вязкие члены должны быть малы по сравнению с инерционными. Тем не менее, в узких пограничных слоях вязкими членами пренебрегать нельзя даже при больших числах Рейнольдса. Рассмотрим теперь отношение второго члена справа в уравнении (8) (аналог вязкости в уравнении движения) к первому члену (аналог инерционных членов).

, (10)

где V и L – характерные скорость и размер задачи, соответственно. Число называется магнитным числом Рейнольдса, а - магнитной вязкостью (по аналогии с числом Рейнольдса и коэффициентом кинематической вязкости в гидроаэромеханике, соответственно). Как видно из (10), можно различать три возможных случая.

1. При уравнение индукции магнитного поля можно записать в виде

. (11)

Из гидроаэромеханики известна теорема о соленоидальном векторе, на основе которой доказываются теоремы Гельмгольца о вихрях. Если такой вектор удовлетворяет уравнению (11), то поток этого вектора через жидкую поверхность , ограниченную жидким контуром С, остается постоянным в течение всего времени движения, т. е. для магнитного поля будем иметь

,

где n– нормаль к поверхности . Физический смысл этого выражения заключается в том, что магнитное поле оказывается «вмороженным» в жидкость, т.е. ни одна силовая линия магнитного поля не может пересечь жидкий контур С. При неизменном потоке магнитного поля через поверхность магнитное поле будет увеличиваться при уменьшении ее площади. Принцип «вмороженности» в этом случае можно доказать и другим способом. Уравнение (11) можно переписать в виде

, (12)

если воспользоваться уравнением неразрывности в форме (1). Если в жидкости взять какую-нибудь жидкую линию , на одном конце которой скорость равна V, а на другом , то изменение длины этой жидкой линии за время , будет равно или

.

Это уравнение совпадает с уравнением (12), а это означает, что изменение жидкой линии и вектора магнитной индукции изменяются со временем одинаково, т.е. если магнитная силовая линия совпадает в начальный момент времени с жидкой линией, то во все время движения эти линии будут совпадать.

Обычно в научной физической литературе при выводе уравнения (11) используется не оценка безразмерного параметра , а предположение . Тогда из обобщенного закона Ома (6) получаем

,

т.е. электрическое поле всегда перпендикулярно магнитному, а операция ротора, примененная к этому уравнению, приводит к уравнению (11). Очевидно, что при (или Re_m >> 1) можно также пренебречь джоулевым теплом в уравнении притока тепла (9).

Следует заметить, что этот случай имеет основные приложения при построении моделей физических явлений в условиях космического пространства, поскольку в этих условиях характерные размеры очень велики (магнитосферы Земли и некоторых планет, размеры солнечной системы и галактик и т.п.) и магнитное число Рейнольдса

с большой степенью точности. Однако даже при выполнении этого неравенства в космических условиях могут быть узкие слои (типа вязкого пограничного слоя), в которых нельзя пренебречь оператором Лапласа в уравнении (8) (граница магнитосферы Земли или граница области, разделяющей солнечный ветер и межзвездную среду и т.д.).

2. При уравнение (8) можно записать в виде

.

Как видно из этого уравнения, распределение магнитного поля может быть произвольным и, в частности, постоянным, а движение жидкости не влияет на магнитное поле. В этом случае электромагнитное поле можно считать заданным. Этот случай реализуется во многих прикладных задачах в земных условиях (магнитогидродинамические генераторы энергии, плазменные ускорители, насосы для перекачки жидких металлов и т.д.).

3. При уравнение индукции магнитного поля необходимо использовать в форме (8), которое замыкает выписанную выше систему уравнений для определения

.

Лекция 5. 18.10.16

В дальнейшем будем рассматривать некоторые решения, основанные на уравнениях идеальной магнитной гидродинамики, которые справедливы при пренебрежении вязкостью , «магнитной вязкостью» и джоулевым теплом. В этом случае выписанная на прошлой лекции система уравнений будет иметь вид

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Если еще исключить температуру из (3) при помощи (4) и использовать уравнение неразрывности (1), то легко получить уравнение для адиабатического процесса

(6)

Тогда система уравнений (1), (2), (5) и (6) будет замкнутой системой уравнений идеальной МГД для определения неизвестных функций