Другие приемы дифференцирования

Неявно заданные функции.

Пусть для уравнения

и отрезков верно следующее: для любого найдется единственное значение (зависящее от x) такое, что . Тогда получаем закон в силу которого любому ставится в соответствие число такое, что . В этом случае -- функция, заданная неявно уравнением (1) в прямоугольнике .

Пример. Соотнoшение в области задает функцию , а в области -- функцию .

Метод дифференцирования неявно заданных функций.

1. Дифференцируем (1) по , считая функцией аргумента x.

2. Из полученного соотношения выражаем через y и x. Пусть результат будет

3. Если даны координаты такие, что , то .

Пример.Найдем производную функции, заданной неявно соотношением в окрестности точки . Дифференцируем данное отношение по , получим: . Отсюда находим В точке эта производная равна и уравнение касательной будет иметь вид

Параметрически заданные функции

Пусть

-- кривая на плоскости, заданная параметрически. Предположим, что для любого найдется единственное значение параметра такое, что . Тогда называется функцией, заданной параметрически.

Пример.Соотношения

задают эллипс с полуосями 3 и 2. Для любого x∈ [0,3] найдется единственное число , а именно такое, что . Тогда -- функция, заданная параметрически соотношением (*), и которую в данном случае мы записали как элементарную функцию (другая запись той же функции -- ).

Имеет место следующая формула, для производной функции, заданной параметрически:

Действительно, дифференцируя по как сложную функцию с промежуточным аргументом , получаем Но согласно правила дифференцирования обратной функции. Подставляя, получим , что и требовалось доказать.□

Пример. Найдем касательную к эллипсу при . Значения функций ;

Логарифмическая производная

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда называют логарифмической производной этой функции. Ясно, что . Иногда бывает проще сначала найти логарифмическую производную.

Пример.Найдем производную функции . Сначала найдем логарифмическую производную этой функции –

Отюда следует

Теперь найдем производную функции :

Теорема Лагранжа

Минимумы и максимумы

Пусть функция определена в окрестности точки . Точка называется точкой локального максимума, если для всех из достаточно малой окрестности точки . Если выполняется неравенство для всех из достаточно малой окрестности точки , то a называется точкой локального минимума. Точка локального минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.

Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в частности, бесконечно много). Значений в этих точках может быть также сколь угодно много. Но наибольшее (наименьшее) значение функции на заданном множестве может быть только одно. Каждая точка интервала, в которой достигается наибольшее значение (наименьшее значение) на этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального минимума), но обратное неверно (см. рис.).

Теорема Ферма; необходимое условие экстремума.Пусть - точка локального экстремума функции , причем эта функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке производную. Тогда

Доказательство. Предположим, что -- точка локального максимума. Тогда для имеем и . Следовательно, . Но этот правый предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда . Аналогично, рассматривая левый предел, т.е. налагая условие , получим, что . Из последних двух неравенств следует равенство . □

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , а в концах отрезка принимает одинаковое значение. Тогда найдется точка такая, что .

Доказательство. Пусть -- точки в которых функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Если не является концевой точкой отрезка , то -- искомая точка по теореме Ферма.

Аналогично рассуждаем в случае, когда не является концевой точкой. Итак, осталось разобрать случай, когда обе точки -- концевые. Тогда , и поэтому функция постоянна на отрезке , ибо любое значение лежит между . В этом случае в качестве c можно взять любую точку интервала . □

Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси, возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной прямой.

Теорема Лагранжа.Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда найдется точка такая, что

или

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию и применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как . Тогда получаем точку с условием , т.е.

Механический смысл теоремы Лагранжа: -- если материальная точка движется на оси некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой ℓ .

Обобщим теорему Лагранжа

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки x∈ (a,b). Тогда найдется точка c∈ (a,b) такая, что

Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную функцию .

Правило Лопиталя

Теорема.Пусть функции дифференцируемы в окрестности точки и . Предположим также, что в некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки . Если существует предел отношения производных при , то существует предел отношения функций, и эти два предела совпадают:

Доказательство. Имеем

Здесь мы применили теорему Коши к отрезку и нашли точку .□

Правило Лопиталя для бесконечности.Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших . Если и существует предел отношения производных при , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают:

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена t=1/x сводит доказательство к случаю a=0 правила Лопиталя.

Правило Лопиталя для неопределенности ∞/∞ . Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших x. Если и существует предел отношения производных при x→ +∞ , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают (см (2)).

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена дроби f/g на (1/g)/(1/f) сводит доказательство к предыдущему случаю.

Пример.