Выборочные начальные и центральные моменты.

Приведем краткий обзор характеристик, которые наряду с уже рассмотренными применяются для анализа статистических рядов и являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины.

Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются частным случаем более общего понятия – момента статистического ряда.

Определение.Начальным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru - х степеней всех значений выборки:

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru или Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Из определения следует, что начальный выборочный момент первого порядка: Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Определение.Центральным выборочным моментом порядка Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru называется среднее арифметическое Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru -хстепеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru :

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru или Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка :

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Определение. Выборочным коэффициентом асимметрииназывается число Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru , определяемое формулой: Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

Если Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором - правосторонней.

Определение.Выборочным коэффициентом эксцесса или коэффициентом крутости называется число Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru , определяемое формулой :

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru.

Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением.

Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равен нулю.

Поэтому за стандартное значение выборочного коэффициента эксцесса принимают Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru .

Если Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой; если Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru , то полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

23 Точечные оценки. Основные свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность

Распределение случайной величины (распределение генеральной совокупности) характеризуется обычно рядом числовых характеристик:

-- для нормального распределения N(a, σ) — это математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ ;

-- для равномерного распределения R(a,b) — это границы интервала [a;b], в котором наблюдаются значения этой случайной величины.

Такие числовые характеристики, как правило, неизвестные, называются параметрами генеральной совокупности. Оценка параметра — соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Оценки параметров генеральной совокупности делятся на два класса: точечные и интервальные.

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность исостоятельность.

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

СВОЙСТВО НЕСМЕЩЕННОСТИ ОЦЕНКИ.
Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки, т.е. при многократном использовании вместо параметра θ его оценки Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru среднее значение ошибки приближения Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru равно нулю — это свойство несмещенности оценки.

Определение. Оценка Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра: Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru

Выборочное среднее арифметическое Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru

СВОЙСТВО СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНКИ.
Второе требование к оценке — ее состоятельность — означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.

Определение. Оценка Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.

Выборочные начальные и центральные моменты. - student2.ru
Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.

СВОЙСТВО ЭФФЕКТИВНОЙ ОЦЕНКИ.
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.

Определение. Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.

Наши рекомендации