Спектрально-корреляционные характеристики случайного сигнала на выходе линейного преобразователя

Рассмотрим правила нахождения энергетического спектра и АКФ стационарного случайного процесса на выходе линейного преобразователя с амплитудно-фазовой характеристикой или импульсной характеристикой при условии, что спектральная плотность мощности или АКФ заданы (рис.1)

Рис.1 Спектрально-корреляционные характеристики на входе
и выходе преобразователя

В теории цепей доказано, что энергетический спектр на выходе линейного преобразователя равен произведению квадрата модуля коэффициента преобразования на спектральную плотность мощности входного сигнала, то есть

.

(20)

Используя обратное Фурье-преобразование функции , получим - АКФ выходного сигнала.
АКФ выходного сигнала можно получить и непосредственно, как свёртку с некоторой функцией , имеющей своим Фурье-изображением квадрат модуля частотной характеристики :

,

(21)

где

.

(22)

Если свойства линейного преобразователя заданы не амплитудно-фазовой характеристикой, а импульсной характеристикой , то функция равна

.

(23)

Иногда функцию называют автокорреляционной функцией импульсного отклика линейной цепи.
Выбор целесообразного метода расчёта спектрально-корреляционных характеристик случайного процесса зависит от того, какая из них необходима – спектральная плотность мощности или АКФ, каким образом заданы динамические характеристики преобразователя, как заданы параметры исходного процесса.
При отыскании выходных характеристик или по известным входным или и одной из функций, характеризующих динамические свойства преобразователя , , или , оптимальный способ расчёта (алгоритм) с минимальным числом однократных интегральных преобразований можно выбрать при помощи условной схемы (графа) на рис.2.

Рис.2. Схема (граф) для выбора способа расчёта выходных
характеристик или .

Слева на схеме в кружках записаны две возможные характеристики входного процесса – АКФ или спектральная плотность мощности .
Каждая из стрелок между ними указывает на возможность перехода от одной из характеристик к другой путём математического преобразования, а волнистая чёрточка на стрелке поясняет, что преобразование является интегральным. В средней части графа дан перечень возможных динамических характеристик преобразователя. Справа на схеме указаны возможные характеристики выходного случайного сигнала.
Рассмотрим в качестве примера следующие условия. Даны и , найти . Строим возможные алгоритмы решения задачи, оставляя в схеме рис.2. выбранный путь.

Вариант 1

Вариант 2

Сравнивая оба варианта, можем предположить, что второй выгодней первого, ибо он включает лишь две операции интегрирования, тогда как по первому алгоритму их придётся выполнить трижды. Поясним конкретное содержание преобразований во втором алгоритме. Переход от к совершается по формуле Виннера-Хинчина, амплитудно-фазовая характеристика находится как изображение Фурье для . Далее ищем квадрат модуля этой функции и путём его перемножения с получаем .