Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить .
Розкладання можна записати більш точно
При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.
Етап 2.
Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.
1. Ділимо поліном на перший НСД.
на
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
-6 | -4 | -3 | -5 | -2 | |||||||
-3 | -5 | -2 | -1 | -2 | |||||||
-1 | -3 | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
-1 | -1 | ||||||||||
-2 | -2 | ||||||||||
-2 | -2 | ||||||||||
2. Ділимо на
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
-3 | -5 | -2 | |||||
-1 | -2 | ||||||
-1 | -4 | -5 | -2 | ![]() | ![]() | ![]() | |
-1 | -2 | -1 | |||||
-2 | -4 | -2 | |||||
-2 | -4 | -2 | |||||
3.
4.
Незвідний поліном входить до розкладання поліному у 4-му степені.
Етап 3.
Діленням знаходимо складові
в розкладанні полінома
на кратні множники.
1. ; 2.
3.
Розкладання на кратні множники відбулося.
Поліном розклали і на кратні, і на незвідні множники, оскільки біноми, на які відбулося розкладання, є незвідними поліномами.
Коренями даного поліному будуть числа
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3.
Розкласти на незвідні множники поліном на множині
, попередньо відокремивши кратні множники. Записати усі корені поліному. Коефіцієнти
,
,
,
,
наведені у таблиці
Варіант | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
-5 | -6 | ||||
-5 | -2 | ||||
-9 | -5 | ||||
-3 | -6 | ||||
-4 | -4 | -8 | |||
-2 | -14 | -15 | -5 | ||
-10 | -8 | -18 | |||
-10 | -15 | -6 | |||
-1 | -14 | -32 | |||
-3 | -9 | -36 | |||
-4 | -24 | -16 | |||
-2 | -6 | ||||
-3 | -1 | -4 | |||
-5 | -35 | ||||
-6 | -27 | -54 | |||
-10 | -80 | -64 | |||
-2 | -9 | -40 | |||
-9 | -51 | -12 | |||
-6 | -12 | -8 | |||
-9 | -46 | -9 | |||
-3 | -9 | ||||
-8 | -38 | -8 | |||
-10 | -68 | -18 | |||
-11 | -92 | -32 | |||
-1 | -11 | -36 | |||
-1 | -10 | ||||
-8 | -34 | -6 | |||
-3 | -6 | ||||
-10 | -64 | -16 | |||
-3 | -8 |
Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.
Оберненою для сімейства задач про існування та визначення коренів поліномів є задача побудови поліному за відомими коренями.
Доведено, що поліноми -го степеня, визначені на множені комплексних чисел
мають точно
коренів. Причому кількість дійсних коренів буде або співпадати із загальною кількістю коренів
або будеменшимза
напарне число.
Виходячи з такого факту можна зробити висновок, що дійсних коренів належать до поліному мінімального степеня
.
Спосіб побудови коефіцієнтів такого полінома дає теорема Вієта.
Для коренів алгебраїчного рівняння
-го степеня
Справедливі співвідношення:
…………………………….
Наведені формули називаються формулами Вієта.
Якщо поліном заданий на множині , то крім
дійсних коренів поліном може мати парну кількість комплексних коренів і тому загальний степінь полінома буде більшим за
.
Отже, якщо задати дійсних коренів поліному, можна за формулами Вієта побудувати зведений (
) поліном
-го степеня
Умноживши зведений поліном на довільну сталу отримаємо сукупність асоційованих поліномів найменшого степеня, тобто поліномів, які можна отримати один з одного множенням на сталу (поліном нульового степеня).
Приклад
Відомо, що числа 1, 2, -1, 4, 3 є коренями полінома. Побудувати поліном найменшого степеня, який має такі корені. Побудувати усі асоційовані до нього поліноми.
Розв’язання.
Розглянемо формули Вієта для п’яти коренів. Маємо
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 2: . Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 3: . Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 4: . Вимога виконана.
У виведені формули підставимо корені. Отримаємо коефіцієнти зведеного поліному:
Запишемо зведений поліном:
Перевіримо, чи правильно знайдені коефіцієнти:
корінь полінома;
корінь полінома;
Корені -1, 4,3 пропонується студентам перевірити самостійно.
Зведений поліном найменшого степеня побудований правильно. Усі асоційовані поліноми можна записати так:
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4.
Використовуючи формули Вієта побудувати зведений поліном найменшого степеня у множині за заданими коренями. Перед розв’язанням записати загальні формули для такого поліному. Побудувати усі поліноми, асоційовані із отриманим зведеним.
Номер варіанту | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | - ![]() | ||||
![]() | - ![]() | -3 | |||
![]() | - ![]() | ||||
![]() | - ![]() | -2 | |||
-1 | -1 | ||||
-2 | -1 | ||||
![]() | - ![]() | ||||
-1 | -1 | ||||
-1 | -1 | -1 | |||
![]() | - ![]() | -2 | -2 | -2 | |
-2 | -2 | ||||
-1 | -4 | ||||
![]() | - ![]() | -1 | -2 | -1 | |
-3 | -3 | ||||
![]() | - ![]() | -1 | -1 | -1 | |
-1 | -1 | ||||
-1 | -1 | -1 | |||
-1 | -1 | -3 | |||
![]() | - ![]() | -1 | -1 | ||
-1 | -1 | -1 |
* Докладніше дивись отримання кореня n-го степеня з довільного комплексного числа за допомогою значень кореня кубічного з 1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ М: Наука, 1968, гл.4, §19, стор. 128