Основные сведения из теории. При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить ее предельным значением
При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить ее предельным значением, если оно принадлежит области существования функции:
 |  |  |
 |  |  |
Примеры:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
- не существует, как 
нельзя приписать никакого числового значения.
Задача 16.1
Найти 
.
Решение.
На основании приведенного выше правила для отыскания предела тригонометрических функций 
, а потому, когда 
, 
; 
и мы имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций. Требуется, как уже хорошо известно читателю, специальное исследование, чтобы решить вопрос о пределе Зная. Что 
, имеем 
.
Задача 16.2
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 16.3
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Под знаком предела находится при 
отношение двух бесконечно малых функций. Следует числитель разложить на множители:
.
Заменить дроби
Если под знаком предела имеется сумма или разность тригонометрических функций, часто бывает полезным преобразовать их в произведение по известным формулам тригонометрии.
Учесть, что 
; 
Ответ. 
.
Задача 16.4
Найти 
.
Решение.
При 
и числитель, и знаменатель дроби – функции бесконечно малые:
[7]
Аналогические рассуждения провести и по отношению к знаменателю. Имеем
Задача 16.5
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
.
При решении остальных задач этого практического занятия следует иметь в виду, что
(16.1) 
Задача 16.6
Найти 
( 
- величина постоянная).
Решение.
Иногда при отыскании предела полезно произвести замену переменной с тем, чтобы упростить отыскание предела и использовать уже известные пределы.
Если под знаком предела делается переменной, то все величины, входящие под знак предела должны быть выражены через эту новую переменную, и из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.
Для решения предложенной задачи сделаем такую подстановку: 
Из этого равенства следует, что 
, когда 
, а 
. Тогда 
, так как 
Следует запомнить, что
(16.2) 
Задача 16.7
Найти 
.
Решение.
Мы разделили числитель дроби на 
. Это можно было сделать, так как значение 
не должно рассматриваться. При вычислении предела числителя и знаменателя последней дроби использована формула(16.2).
Задача 16.8
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Ответ. 
Задача 16.9
Найти 
Решение.
Задача 16.10
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на 
и перейти к пределу. Использовать решение предыдущей задачи.
Ответ. 
Задача 16.11
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Дробь, стоящую под знаком предела, записать так:
Использовать теорему о пределе произведения [8].
Ответ. 
Задача 16.12
Найти 
.
Решение.
При 
числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции. Воспользуемся тем, что 
и тогда
(мы использовали формулу (16.2). в нашем случае 
).
Задача 16.13
Найти 
.
Решение.
При 
функции 
и 
- бесконечно большие функции; таким образом, под знаком предела находится разность двух бесконечно больших функций. Теорему (14.5а о пределе разности применить нельзя, так как не существует конечных пределов каждой из функций 
и 
при 
.
Преобразуем эту разность так:
После этого получим
К последней дроби можно было применить теорему о пределе дроби, так как предел знаменателя равен2, а числитель дроби имеет конечный предел 0.
Задача 16.14
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. Числитель дроби равен 
; использовать так же формулу (16.2).
Ответ. 
Задача 16.15
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. При 
функция 
- бесконечно большая. а 
- величина бесконечно малая. Значит, мы имеем произведение функции бесконечно большой на бесконечно малую и требуется специальное исследование , чтобы определить предел этого произведения.
Учесть, что 
, а поэтому 
. На основании формулы (16.1) 
.
Ответ. 1.
Задача 16.16
(для самостоятельного решения). Найти 
Указание. 
.
Ответ. 
Задача 16.17
(для самостоятельного решения).Найти 
.
Указание. Представить числитель в виде 
,
а знаменатель 
.
Сократить дробь и перейти к пределу.
Ответ. 
Задача 16.18
Найти 
.
Решение.
При 
не существует предела 
, а потому нельзя применить теорему (14.5в) о пределе произведения. Сделаем в нашем примере подстановку: 
. Когда 
, то новая переменная 
, так как
Если 
, то 
; выражение стоящее под знаком предела, перепишется так:
.
Поэтому
.
Задача 16.19
(для самостоятельного решения). Найти 
.
Указание. 1) 
. Преобразовать дробь к виду 
.
Ответ. 
Задача 16.20
(для самостоятельного решения). Найти
1) 
;
2) 
.
Указания. 1) В первом примере умножить числитель и знаменатель дроби на 
, сократить дробь и перейти к пределу. 2) во втором примере перенести иррациональность в знаменатель, сократить дробь на 
и перейти к пределу.
Ответ. 1) 
; 2) 
.
Задача 16.21
(для самостоятельного решения). Найти
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Указание. В первом приделе числитель и знаменатель дроби разделить на 
, во втором положить 
, в третьем примере 
; 
.
[1] *Некоторые авторы, например Г.П. Толстов в учебнике «Курс математического анализа», называют эти совокупности чисел не «полуотрезками» а «полуинтервалами».
[2] Многозначные функции нами не рассматриваются
[3] Здесь 
- произвольная точка области определения функции, а 
- период функции.
[4] Натуральными числами называются все целые положительные числа.
[5] Если 
то 
.
[6] Деление на 
допустимо, так как предполагается, что 
.
[7] 
, где 
- любое целое число. Если не сделать этой оговорки, то, например, при 
будет 
, а 
не имеет числового смысла.
[8] Можно поступить и так: 