Понятие о моменте инерции тел

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ.

(с компьютерным интерфейсом)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2009 г.

Цель работы – изучение параметров зтухающих крутильных колебаний, измерение моментов инерции различных тел.

Общие сведения

Рассмотрим тело, закрепленное на оси спиральной пружины. Если повернуть тело на некоторый угол j, то вследствие закручивания пружины возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент М, возвращающий систему в исходное состояние, и возникнут крутильные колебания.

Крутящий момент М пропорционален углу поворота j

(1)

где D - модуль кручения, зависящий от механических свойств пружины.

Если пренебречь силами сопротивления, то основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

(2)

где J – момент инерции, e - угловое ускорение.

(3)

Из уравнений (1) и (2) и с учетом (3) следует

(4)

Это уравнение можно переписать в виде

(5)

Введем обозначения

Тогда уравнение (5) примет вид

(6)

Это дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Решением этого уравнения являются функции синуса ил косинуса (гармонические функции)

где j_о – максимальное (амплитудное) значение угла поворота, w_о – круговая (циклическая) частота, a - начальная фаза.

Таким образом, крутильные колебания являются гармоническими колебаниями.

Частота и период этих колебаний равны соответственно

Если в системе имеются силы трения, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, то есть колебания будут затухающими.

За счет сил трения возникает тормозящий момент

где r – коэффициент сопротивления, - угловая скорость.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения запишется так

Введя обозначения

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(9)

Решением этого уравнения является следующая функция

b - коэффициент затухания

- амплитуда затухающих колебаний.

Она уменьшается с течением времени.

частота затухающих колебаний

период затухающих колебаний

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них значения смещения, скорости, ускорения не повторяются через период. Так что о периоде Т можно говорить лишь условно, как о времени, через которое система проходит через положение равновесия.

Степень затухания характеризуется несколькими величинами – коэффициентом затухания , логарифмическим декрементом затухания , временем релаксации .

Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду T , называется логарифмическим декрементом затухания.

(10)

l=bT (11)

Время , в течение которого амплитуда убывает в e раз, называется временем релаксации

bt=1 (12)

- коэффициент затухания есть физическая величина обратная времени релаксации.

Понятие о моменте инерции тел.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.2). Тогда момент инерции такой отдельной элементарной массы

где - расстояние от элемента объема до оси вращения, r - плотность вещества.

Момент инерции всего тела

,

Таким образом, момент инерции различных тел можно найти с помощью интегрирования.

Рассмотрим результаты расчета для некоторых частных случаев.

1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения

(13)

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его масса m.

(14)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ относительно оси , совпадающей с осью цилиндра.

(15)

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

(16)

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

(17)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний. Из формулы (8) можно получить следующую формулу для вычисления момента инерции

(18)