Разложение по подвыражениям

Команда Symbolics (Символьные вычисления) ► Collect (Разложить по подвыражениям), полное название которой «Collect on Subexpresion», обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплекто­ванным по базису указанной переменной, если такое представление воз­можно. Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной, имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, пред­ставленные в порядке уменьшения ее степени. В том случае, когда комплектование по базису указанной переменной невозможно, система выдает сообщение об этом (снизу на рисунке).

Подстановка

Команда Symbolics (Символьные вычисления) ► Variable (Перемен­ная) ► Substitute (Подставить) возвращает новое выражение, получен­ное путем подстановки вместо указанной переменной некоторого другого выражения. Последнее должно быть подготовлено и помещено в [буфер обмена командой Cut (Вырезать) или Сору (Копировать) меню Edit (Правка). Наряду с получением результата в символьном виде эти команды позволяют найти и численные значения функции некоторой переменной путем замены ее аргумента числовым значением. Подстановка и замена переменных довольно часто встречаются в математических расчетах, что делает эти команды весьма полезными. Кроме того, они дают возможность перейти от символьного представления результата к числовому.

Разложение в ряд Тейлора

Команда Symbolics (Символьные вычисления) ► Variable (Переменная) ► Expand to Series (Разложить в ряд) выполняет разложение выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной с заданным по зап­росу числом членов ряда п (число определяется по степеням ряда). Такое разложение относительно точки х = х₀ функции f(x) имеет вид:

Если разложение выполняется относительно точки х = 0, его принято называть рядом Маклорена: . По умолчанию принимается п = 6. Разложение возможно для функ­ции заданной переменной. В разложении указывается остаточная по­грешность.

Символьные операции нередко можно комбинировать для решения сложных задач — задачи вычисления определенного интеграла, который не бе­рется в явном виде.

Если пользователя (например; инженера) интересует просто числен­ное значение интеграла, надо лишь поставить после интеграла знак вывода = и значение интеграла будет вычислено адаптивным численным методом Симпсона. Однако попытка вычислить такой интеграл с помощью команды Symbolics (Символьные вычисления) ►Simplify (Упростить) окажется неудачной: после долгих попыток система сооб­щит, что интеграл в явном виде не берется.

Прием заключается в замене подынтегральной функции ее разложением в ряд Тейлора. Вначале необходимо получить такое разложение с избытком — для 10 членов ряда (однако учтенных нечетных членов тут нет, такова специфика функции). Далее, выделив четыре первых реальных члена и используя команды Сору (Ко­пировать) и Paste (Вставить) меню Edit (Правка), поместить это разложение на место шаблона подынтегральной функции. Теперь проблем с вычислением интеграла с помощью команды Simplify не будет.

Интеграл получается в форме ехр(a), помноженной на дробные мно­жители, представленный в рациональной форме (отношения целых чисел). Это обстоятельство, возможно, бесполезное для рядового пользователя, наверняка будет весьма положительно воспринято «ис­тинным» математиком, поскольку здесь напрашиваются определенные аналитические выводы, которые нельзя сделать при вычислении ин­теграла численными методами.

Решение уравнений

Если задано некоторое выражение F(x) и выделена переменная х, ко­манда Symbolics (Символьные вычисления) ► Variable (Переменная) ► Solve (Решить) возвращает символьные значения указанной перемен­ной х, при которых F(x) = 0. Это очень удобно для решения алгебраи­ческих уравнений, например квадратных и кубических, а также для вычисления корней полинома.

С помощью команды Paste (Вставить) меню Edit (Правка) можно пере­нести решение в основное окно системы, но оно окажется текстовым комментарием (а не частью математического выражения) и не будет пригодно для дальнейших преобразований. Впрочем, часть решения (опять-таки через буфер обмена) можно ввести в формульные блоки для последующих преобразований и вычислений. Если при решении квадратного уравнения получены про­стые выражения, известные даже школьникам, то при увеличении порядка уравнения всего на единицу ре­зультаты представляются весьма громоздкими и малопригодными для анализа формулами. Хорошо еще, что существующими!

Пользователю надо реально оце­нить свои силы в упрощении решения. Это придется сделать «вруч­ную». При технических расчетах специалист нередко знает, какие из параметров решения несущественны, и может их отбросить. Однако для строгих математических расчетов это не всегда возможно, поэтому даже громоздкий результат может быть весьма полезным с познавательной точки зрения.