Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах

Лекція 7

Тема:Диференціальні рівняння,не розв’язані відносно похідної.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має такий вигляд

Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо ряд диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь . Тоді, інтегруючи , одержимо . Звідси і вираз містить всі розв’язки вихідного диференціального рівняння.

Приклад1. Розв’язати рівняння вигляду

Рівняння має дійсний розв’язок, тобто воно поставлене коректно. Тому його розв’язком буде .

(Самостійно)Розв’язати рівняння : а) б)

2) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

Приклад 2. Розв’язати рівняння вигляду

Робимо параметризацію . Використовуючи основну форму запису , одержимо

.

Звідси .

Остаточний розв’язок у параметричній формі має вигляд

.

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) б) в)

3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи співвідношення , отримаємо і . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

Приклад 3. Розв’язати рівняння вигляду

Робимо параметризацію . Використовуючи основну форму запису , одержуємо .

Звідси

, .

Остаточний розв’язок у параметричній формі має вигляд

, .

Крім того за рахунок скорочення втрачено .

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) б) в)

4) Рівняння Лагранжа

Введемо параметр і отримаємо

Продиференціювавши, запишемо

Замінившиодержимо

Звідси

І отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

Його розв’язок

І остаточний розв’язок рівняння Лагранжа в параметричній формі запишеться у вигляді

Приклад 4. Розв’язати рівняння Лагранжа

Робимо параметризацію . Диференціюємо друге рівняння.

.

Оскільки зроблено заміну , то одержимо

або .

Звідси .

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння може бути представлений у вигляді

.

Остаточно маємо , . Крім того при діленні на втратили .

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) б) в) г)

5) Рівняння Клеро.

Частинним випадком рівняння Лагранжа, що відповідає є рівняння Клеро

Поклавши , отримаємо .

Продиференцюємо Оскільки ,то

Скоротивши, одержимо Можливі два випадки.

1. і розв’язок має вигляд

2. і розв’язок має вигляд

.

Загальним розв’язком рівняння Клеро буде сім’я прямих . Цю сім’ю огинає особа крива , .

Приклад 5. Розв’язати рівняння Клеро

Робимо параметризацію . Диференціюємо друге рівняння.

.

Оскільки зроблено заміну , то одержимо

.

Звідси . І маємо дві гілки

а) Особливий розв’язок , , або .

б) Загальний розвозок .

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) б) в) г)

6) Параметризація загального вигляду. Нехай диференціальне рівняння вдалося записати у вигляді системи рівнянь з двома параметрами

.

Використовуючи співвідношення , одержимо

.

Перегрупувавши члени, одержимо

.

Звідси

.

Або отримали рівняння вигляду

.

Параметризація загального вигляду не дає інтеграл диференціального рівняння. Вона дозволяє звести диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної, до диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

Приклад 6.Розв’язати рівняння параметризацією загального виду

Введемо параметризацію рівняння , , .

Використовуючи співвідношення , одержимо рівняння

.

Перепишемо його у вигляді

або

Воно розділяється на два

а) .

Підставивши в параметризовану систему, одержуємо

, .

або

.

б) . І розв’язок має вигляд .

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) б) в)

7) Нехай рівняння можна розв’язати відносно і воно має -коренів, тобто його можна записати у вигляді .

Розв’язавши кожне з рівнянь , отримаємо загальних розв’язків (або інтервалів) (або ). І загальний розв’язок вихідного рівняння, не розв’язаного відносно похідної має вигляд

або .

Приклад 7.Розв’язати рівняння

Це рівняння розв’язується відносно . Маємо

, .

Розв’язок першого має вигляд , другого . Загальний розв’язок має вигляд

.

(Самостійно)Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .