Погрешности некоторых косвенных измерений

Вид функции x(a,b,c,...)	Абсолютная погрешность D(x)	Относительная погрешность e(x)
x = a ± b
x = a ± b ± c
x = ab,	D(x) = xe(x)
x = abc, ,	D(x) = xe(x)

Замечание. Приведённые в этом пункте формулы справедливы для всех типов погрешностей – для приборных, случайных и полных. Чаще всего их используют для полных погрешностей – сначала находят приборные, случайные и полные погрешности всех прямых измерений, а затем – полную погрешность косвенного измерения.

8. Округление погрешностей и результатов измерений.
Запись результата измерений

Термин “оценка погрешности” означает, что нет смысла высчитывать погрешность с большой точностью. Следует определить лишь первую значащую цифру, так как знание погрешности нужно, главным образом, для того, чтобы определить тот предельный разряд K₀ результата измерения, в котором содержится ошибка. Цифры в разрядах, старших K₀, являются достоверными, а в разрядах, младших K₀, – недостоверными. Разряд K₀ занимает пограничное положение: цифра в этом разряде частично достоверна, её неопределённость как раз и показывает первая значащая цифра погрешности.

Из этого вытекает следующее правило округления.

Погрешность нужно округлять до единственной значащей цифры, а результат измерения – до предельного разряда K₀, равного тому разряду, в котором находится единственная значащая цифра погрешности.

Пример. Проведено косвенное измерение давление газа в электронной лампе. Результат измерения: p = 35,27 Па, оценка погрешности измерения дала: D(p) = 2,15 Па. Эти данные следует округлить так: D(p) = 2 Па, p = 35 Па. Предельный разряд K₀ в этом примере – это младший разряд целой части, то есть разряд единиц.

Результат измерения принято записывать вместе с его гарантией, то есть вместе с погрешностью. Образец формы записи следующий:

p = (35 ± 2) Па, e(p) = 6%.

Другие примеры записи результатов измерений:

I = (17,3 ± 0,3) мА, e(I) = 2%.

v = (848,7 ± 0,5)×10^-4 м/с, e(v) = 0,06%.

Построение графиков

Результат экспериментального исследования зависимости одной величины от другой очень наглядно иллюстрирует график зависимости. Рассмотрим для примера график, изображённый на рис. 4.

Вольтамперная характеристика фотодиода

Рис. 4

На этом рисунке вольтамперная характеристика, то есть кривая зависимости силы тока на анод I от напряжения между анодом и катодом U, выглядит в виде плавно изогнутой линии, которая с ростом напряжения постепенно превращается в прямую, параллельную оси абсцисс (оси напряжения), отражая явление насыщения фототока. Построена эта линия по восьми экспериментальным точкам, причём только одна из точек лежит на кривой. Но это вполне допустимо. Дело в том, что экспериментальная точка представляет собой два результата измерения – напряжения и тока. Каждый из этих результатов обладает погрешностью, эти погрешности и изображены около каждой точки в виде двух доверительных интервалов с центрами в экспериментальной точке: вертикальный интервал – это доверительный интервал результата измерения силы тока, его ширина равна 2D(I), горизонтальный интервал – это доверительный интервал результата измерения напряжения, его ширина равна 2D(U). Так как доверительный интервал, согласно определению 1, есть множество возможных результатов измерения, то кривую зависимости I(U) совсем не обязательно проводить строго через экспериментальные точки, достаточно, чтобы эта кривая прошла через доверительные интервалы всех экспериментальных точек.

Итак, последовательность действий при построении графика такова.

· Выбрать рациональный масштаб величин, изображаемых на графике, так чтобы экспериментальные точки разместились на всей площади графика, а не в какой-то небольшой её части.

· Начертить оси графика и расставить на них масштабные метки. Метки должны располагаться на одном и том же расстоянии друг от друга и не слишком часто, чтобы не загромождать рисунок. Рядом с метками надо проставить опорные числа – значения величин, соответствующих масштабным меткам. Разрешается, чтобы отличие соседних опорных чисел друг от друга было таким: (1; 2; 5) единиц, или (0,1; 0,2; 0,5) единиц, или (10; 20; 50) единиц и так далее. Опорные числа можно проставлять не у всех меток – метки на осях могут быть расположены в 2 или в 5 раз чаще, чем числа. Кроме опорных чисел и масштабных меток, никакие другие числа и метки у осей графика отмечать нельзя.

· Нанести на график экспериментальные точки в виде незакрашенных кружочков диаметром примерно 2 мм. Вокруг каждой из точек нанести два доверительных интервала – вертикальный и горизонтальный. Доверительный интервал можно не наносить только в том случае, если его геометрический размер меньше диаметра экспериментальной точки, то есть менее 2 мм. Рассчитывают доверительные интервалы обычно только для двух крайних точек графика, остальные интервалы наносят приблизительно – так, чтобы их размеры были промежуточными между размерами интервалов крайних точек.

· С помощью лекала проводят плавную линию так, чтобы она пересекла доверительные интервалы всех экспериментальных точек, сами точки не обязательно должны попасть на линию.