Нелинейные операции над векторами.
1.Скалярное произведение векторов– число ; 1). проекция вектора на вектор
; 2). если
, то
.
Свойства:1). ; 2).
; 3). скалярный квадрат
, тогда
; 4).
; 5).
. Условие перпендикулярности векторов:
.
Угол между векторами:
.
2. Векторное произведение -вектор , определяемый условиями:1).
; 2).
перпендикулярен и
, и
; 3). вектор
направлен так, что с его конца переход от первого сомножителя
ко второму
виден как переход против часовой стрелки.
В координатах,если ,
, то
.
.
Свойства векторного произведения:1).
; 2).
; 3).
; 4).
,
,
;
,
,
;
,
,
. Геометрическимодульвекторного произведения – площадь параллелограмма:
.
3. Смешанное произведение векторов– число
.
Если
;
, то
.
Геометрически– объемы параллелепипеда и пирамиды: ,
Условие компланарности векторов: .
Раздел 2. Аналитическая геометрия.
Простейшие задачи на плоскости.
Уравнение линии на плоскости .
Расстояние между двумя точками :
.
Площадь треугольникаABC с вершинами в точках
:
.
Координаты точки , делящий отрезок
в данном отношении
:
.
Координаты середины отрезка( ):
.
Полярные координаты: ,
;
,
,
.
Прямая на плоскости.
Уравнения прямой:
общее: , вектор
перпендикулярен прямой;
с угловым коэффициентом: ;
проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
:
; проходящей через две точки
:
;
в отрезках: .
Угол между двумя прямыми,заданными: общими уравнениями и
:
;
уравнениями с угловым коэффициентом ,
:
.
Условия параллельности прямых: ,
.
Условия перпендикулярности прямых: ,
.
Расстояние от точки до прямой
:
.
Кривые 2 порядка.
Уравнение второго порядка задает: окружность при
; эллипс при
; гиперболу при
; параболу, если
или
. Уравнения окружности: с центром в т.
и радиусом
:
; с центром в т.
:
. Каноническое уравнение эллипса:
Каноническое уравнение гиперболы:
Канонические уравнения параболы:
Плоскость в пространстве.
Уравнения плоскости:
проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали
:
;
общее:
;
- вектор нормали;
в отрезках:
;
проходящей через три данные точки :
.
Угол между плоскостями
:
.
Условие параллельности плоскостей: .
Условие перпендикулярности плоскостей .
Расстояние от точки до плоскости
:
.
Прямая в пространстве.
Уравнения прямой:
как линии пересечения двух плоскостей:
проходящей через точку параллельно вектору
:
- канонические уравнения прямой;
параметрические:
проходящей через две данные точки
:
.
Угол между прямыми:
.
Условие параллельности прямых: .
Условие перпендикулярности прямых: .
Расстояниеот точки до прямой
:
.
Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве.
Условие параллельности прямой и плоскости
:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
Угол между прямой и плоскостью:
.
Раздел 3. Пределы
Определенные выражения при нахождении пределов: ;
;
;
;
;
Неопределенности: ,
,
,
.