Для корреляционно-спектрального анализатора

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА И ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЕ

Методические указания к выполнению

лабораторной работы по дисциплине

«ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ САУ»

для студентов специальности 190302 «Вагоны»

всех форм обучения

(4 часа)

Составители: Т.Н. Буштрук

Самара 2015

УДК 681.51.015

Исследование цифровых алгоритмов типовых звеньев : методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» для студентов специальности 190302 всех форм обучения / Т.Н. Буштрук. – Самара : СамГУПС, 2015. – 10 с.

Утверждены на заседании кафедры «Вагоны» 00.00.2015, протокол № 00.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

Данное методическое указание разработано в учебно-исследовательской лаборатории «Моделирования систем управления и телекоммуникаций».

Методические указания предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» специальности 190302 всех форм обучения.

Составители: Буштрук Татьяна Николаевна

Рецензенты: д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Мехатроника в автоматизированных производствах» О.А. Кацюба ;

к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматика, телемеханика и связь

на железнодорожном транспорте» В.Б. Гуменников

Редактор И.А.Шимина

Компьютерная верстка Е.Ю. Шарова

Подписано в печать10.04.2008. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 0,65.

Тираж 100 экз. Заказ № 44.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2015

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА

Введение. В работе [1] описан корреляционно-спектральный метод идентификации квазистационарных процессов сориентированных на применение в системах прогнозирования технических, социальных, геофизических и экономических процессов.

Основными элементами устройств идентификации квазистационарных временных процессов являются четные полосовые фильтры, требования к которым достаточно высоки. Такие фильтры описаны в ряде работ, например в [2,3], однако, фильтры, описанные в них, имеют большое число настроечных параметров (см. [3]). В предлагаемых алгоритмах, обеспечивающих цифровую фильтрацию временных процессов, эти недостатки отсутствуют. В основу синтеза рекуррентных алгоритмов четного полосового фильтра положен метод Z-преобразования, описанный в [4].

Рекуррентный алгоритм. Передаточная функция для четного полосового фильтра имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Коэффициенты полиномов А0 и В0 имеют размерность [Гц2], А1 и В1 – [Гц].

При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

В соответствии с методом Z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы для четного полосового фильтра определяется соотношением:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Тогда:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Рекуррентный алгоритм имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

+ для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

при начальных условиях х[0] = x[-1] = y[0] = y[-1] = y[-2] = 0.

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

.

Передаточную функцию W(S) запишем в следующем виде:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [Гц2], для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru - резонансная частота четного полосового фильтра,

С=А00, а А0=С·В0, С- масштабный коэффициент. Перепишем W(S) в следующем виде:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Учитывая, что Dw=wр/Q, Δω – полоса пропускания фильтра на уровне 0.707 ,

Q – добротность, получим:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Вводя отношения m=B1/Dw, для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , где m и d – масштабные коэффициенты, получим:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Далее определяем корни характеристического уравнения:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Они имеют вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Для осуществления нормировки четного полосового фильтра определяем импульсно-переходную функцию:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где L-1[·]- обратное преобразование Лапласа. Производная от характеристического полинома имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

С учетом всех подстановок импульсная – переходная характеристика имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

С ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад/сек], для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад],

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [ рад/сек], для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад],

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад], для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад].

При высоких добротностях выражение для импульсной - переходной функции нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад/сек],

где Q/m = (2p·d)/(Dt·N) [рад].

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Рекуррентный алгоритм для нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

Результаты моделирования.Результаты расчета проверки работоспособности алгоритма приведены в таблицах 1, 2 и 3 и на рисунках при воздействии сигнала вида d-функция.

В таблице 1 приведены данные моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

Таблица 1

n для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru n для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru n для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru n для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru n для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru
4,8557 -2,416 -0,887 3,1256 -3,282
4,0286 -0,767 -2,324 3,6149 -2,729
2,6103 0,9646 -3,383 3,5497 -1,776
0,8260 2,5181 -3,910 2,9506 -0,573
-1,048 3,6618 -3,838 1,9184 0,6921
-2,727 4,2312 -3,189 0,6170 1,8289
-3,963 4,1516 -2,071 -0,752 2,6679
-4,577 3,4477 -0,663 -1,981 3,0883
-4,489 2,2377 0,8171 -2,887 3,0350
-3,726 0,7139 2,1460 -3,341 2,5251

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

Рисунок -1. Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 2 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

Таблица 2

4,7138 -1,622 -0,569 1,2941 -1,000
3,6651 -0,379 -1,301 1,4403 -0,808
2,1591 0,8260 -1,788 1,3646 -0,513
0,4506 1,8194 -1,976 1,0948 -0,164
-1,194 2,4713 -1,861 0,6851 0,1815
-2,540 2,7121 -1,481 0,2060 0,4750
-3,413 2,5376 -0,914 -0,267 0,6767
-3,720 2,0048 -0,255 -0,665 0,7641
-3,459 1,2186 0,3907 -0,936 0,7330
-2,711 0,3134 0,9309 -1,049 0,5970

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

Рисунок. – 2 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 3 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 2, N = 32, m = 1,C = 0;

Таблица 3

4,4424 -0,829 -0,132 0,1949 -0,096
3,0306 -0,145 -0,339 0,2212 -0,083
1,4517 0,4374 -0,462 0,2122 -0,060
-0,046 0,8556 -0,499 0,1755 -0,033
-1,271 1,0811 -0,461 0,1211 -0,006
-2,101 1,1169 -0,365 0,0596 0,0160
-2,493 0,9919 -0,236 0,0008 0,0327
-2,471 0,7521 -0,098 -0,047 0,0418
-2,111 0,4511 0,0294 -0,080 0,0436
-1,523 0,1414 0,1301 -0,096 0,0390

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

Рисунок. -3 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 2, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 1 Q=20, N=32, m=1,C=0; в таблице 2 Q=5, N=32, m=1,C=0; в таблице 3 Q=2, N=32, m=1,C=0;

Теоретическая часть

Передаточная функция для звена любого порядка имеет вид

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , где n>m.

От передаточной функции W(S) необходимо перейти к передаточной функции эквивалентной импульсной системы:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

По известным коэффициентам Am, Am-1,…,A0 и Bn, Bn-1,…, B0 можно определить коэффициенты a0, a1,…,al и b1,…,bk. Используя передаточную функцию эквивалентной импульсной системы, находят разностное уравнение (рекуррентный алгоритм) для моделирования линейных динамических звеньев в классе дробно рациональных передаточных функций.

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Символ * обозначает, то что эквивалентная импульсная система имеет такие же свойства, как и непрерывная система. Начальные условия задаются следующими формулами x[0]=0, x[-1]=0, x[-l]=0, y[0]=0, y[-1]=0, y[-k]=0.

В основу синтеза рекуррентных алгоритмов положен метод z-преобразования. При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

В соответствии с методом z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы определяется соотношением:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

В лабораторной работе рассматриваются следующие звенья с передаточными функциями и строятся рекуррентные алгоритмы:

1) Звено первого порядка. Для него имеем:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Приравнивая знаменатель этого выражения к нулю, находим корень характеристического уравнения:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Тогда для звена первого порядка получим:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ; для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru тогда для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

С учетом полученных выражений разностное уравнение для звена первого порядка имеет вид

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Время переходного процесса для звена первого порядка определяется по следующей формуле:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

2) Звено второго порядка, передаточная функция которого имеет вид

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

корни характеристического уравнения принимают значения: для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru . С учетом метода z-преобразования имеем:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru - относительное время, для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , при C>1.

С учетом проведенных преобразований записываем передаточную функцию эквивалентной импульсной системы для звена второго порядка

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

по которой определяется разностное уравнение:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Отсюда окончательно получаем:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

В лабораторной работе рассматривается также вариант передаточной функции для звена второго порядка следующего вида:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Эта передаточная функция описывает важный класс звеньев второго порядка типа четных полосовых фильтров. Для нее корни характеристического уравнения имеют вид

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Параметры разностных уравнений определяются следующими формулами:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ;

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru тогда для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , при C>1

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

С учетом полученных коэффициентов передаточная функция эквивалентной импульсной системы принимает следующий вид:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

От эквивалентной импульсной системы осуществляется переход к разностному уравнению:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Передаточная функция для звена второго порядка может быть представлена еще в одном виде, удобном для физической интерпретации процессов:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [Гц2]. Вводя обозначения, для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , => (следовательно) для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru , получим:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Учитывая связь между полосой пропускания (определяемой на уровне 0.707) и добротностью,

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где Δω – полоса пропускания, Q – добротность. Окончательно получим:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ; для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Далее определяем импульсно-переходную функцию:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где N(S) и M(S) соответственно полиномы числителя и знаменателя W(S), M`(S) производная по S

Отсюда имеем:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Для четного полосового фильтра с ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки для четного полосового фильтра определяется следующими соотношениями:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад/сек] для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад]

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [ рад/сек] для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад]

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [рад]; для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru ,

где ωр×Dt=2×p/N, Dt – шаг дискретизации по времени.

da – коэффициент прорежения; g – коэффициент запаса.

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru [1/сек].

По степени экспоненты для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru определяется время переходного процесса как в четном, так и нечетном фильтрах. Отсюда имеем:

для корреляционно-спектрального анализатора - student2.ru .

Время переходного процесса полосового фильтра определяется с инженерной точностью.

Условие нормировки для нечетного полосового фильтра определяется следующими соотношениями

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид

С условием нормировки формула для передаточной функции нечетного полосового фильтра принимает вид

Наши рекомендации