Независимые случайные величины.

При рассмотрении системы двух случайных величин (ξ,η) надо иметь в виду, что свойства системы не всегда исчерпываются свойствами самих величин ξ,η. Дело в том, что между величинами ξ,η, может существовать зависимость и без учёта этой зависимости нельзя построить закон распределения системы (ξ,η). В этом параграфе мы рассмотрим случай независимости случайных величин.

Определение. Случайные величины ξ₁,ξ₂,…ξ_n называются независимыми, если для любых борелевских множеств B_i выполняется равенство: (1)

Другими словами события:

независимы (см.§8 гл.1 определение 4). Если взять B_i = ) ,то из (1), в случае независимости ξ₁,…ξ_n, будет следовать равенство для многомерной функции распределения:

= (2)

Если распределение имеет плотность , то равенство (2) эквивалентно равенству (см (10) §5 гл.II)

= . (3)

Если случайные величины ξ₁,…ξ_n дискретны, то за определение независимости в этом случае можно принять равенство (см (1):

, (4)

где ,…, – возможные значения случайных величин ξ₁,…,ξ_n , соответственно.

Можно показать, что если есть непрерывные (или кусочно непрерывные) функции, то случайные величины также будут независимы.

Формула композиции. Пусть дана система двух случайных величин (ξ,η) с плотностью =p(x,y). Найдем закон распределения суммы ξ+η .

Функция распределения суммы ξ+η равна следующему интегралу:

, где G=((x,y):x+y<z) есть полуплоскость с граничной прямой x+y=z (см рис.1 область G заштрихована).

Вычислим этот интеграл как повторный

Сделав замену переменных , получим

.

Итак, мы получили

.

Поскольку , то значит плотность распределения ξ+η выражается через плотность P(x,y) двумерного распределения (ξ,η) формулой

Рассмотрим случай, когда величины ξ и η независимы. Тогда в этом случае P_ξ,η(x,y)=P_ξ(x)P_η(y) и формула (5) принимает вид

В этом случае из формулы (6) следует, что

Формулы (6), (7) носят название формул композиции и свёртки. С помощью их мы выражаем плотность P_ξ+η(z) и функцию распределения F_ξ+η(z) суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых.

Пример 1. Пусть ξ и η независимы, F_ξ(х) функция распределения ξ, а η имеет плотность (равномерно распределена на [a,b])

Применяя формулу композиции имеем.

,

делая замену в интеграле , получаем

.

Поскольку , то мы получаем формулу для плотности:

Пример 2. Рассмотрим частный случай примера 1, когда величины ξ и η равномерно распределены на отрезке [0,1]

,

Тогда из формулы (8) получаем

График функции P_ξ+η(z) показан на рисунке 2.

z

Замечание.Из формулы (5) можно также установить, что сумма независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону, сама имеет нормальное распределение.