VIII-а. Поверхности второго порядка
8-а.1. Наименьшая ось трехосного эллипсоида равна …
# … 2.
8-а.2. Наибольшая ось трехосного эллипсоида равна …
# … 4.
8-а.3. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …
# … гиперболами.
8-а.4. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси аппликат, являются …
# … эллипсами.
8-а.5. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …
# … прямыми.
8-а.6. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс, являются …
#… окружностями.
8-а.7. Сечения поверхности плоскостями, параллельными оси аппликат, являются …
# … параболами.
8-а.8. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Гиперболический параболоид
2) Однополостный гиперболоид
3) Эллипсоид вращения
4) Двуполостный гиперболоид
8-а.9. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Конус
2) Эллиптический параболоид
3) Пара плоскостей
4) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов
8-а.10. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Прямая
2) Параболический цилиндр
3) Параболоид вращения
4) Конус
8-а.11. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Однополостный гиперболоид
2) Трехосный эллипсоид
3) Гиперболический параболоид
4) Точка
8-а.12. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Параболоид вращения
2) Эллиптический параболоид
3) Пара плоскостей
4) Эллиптический цилиндр
8-а.13. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Однополостный гиперболоид
2) Параболический цилиндр
3) Эллиптический параболоид
4) Точка
8-а.14. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Конус второго порядка
2) Двуполостный гиперболоид
3) Трехосный эллипсоид
4) Прямая
8-а.15. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:
1)
2)
3)
4)
1) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов
2) Конус второго порядка
3) Гиперболический параболоид
4) Эллиптический параболоид
8-а.16. Плоскость пересекает поверхность
по эллипсу с полуосями …
# … 1 и 2.
8-а.17. Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы вокруг оси
, имеет вид …
# … .
8-а.18. Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы вокруг оси
, имеет вид …
# …
8-а.19. Установите, что плоскость пересекает поверхность
по эллипсу. Его полуоси равны …
# … 3 и .
8-а.20. Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси , — это…
# … .
IX. Линейные пространства
9.1. Матрицей перехода от базиса к базису
, где
является…
…
9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…
…невырожденной.
9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …
… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.
9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …
…образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.
9.5. Вектор …
… невозможно представить в виде линейной комбинации векторов и
.
9.6. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…
…образуют линейное пространство размерности 1.
9.7. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…
…не образуют линейного пространства.
9.8. Матрицы вида , где числа
,
,
и
удовлетворяют условиям
,
, а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …
…образуют линейное пространство размерности 2.
9.9. Векторы ,
,
…
… являются линейно-зависимыми.
9.10. Разложение вектора по базису
,
,
имеет вид
, где…
… .
9.11. Функции ,
,
будут линейно зависимыми при…
… .
9.12. Функции ,
,
будут линейно-независимыми при…
…любом значении .
9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…
… вектор .
9.14. Векторы ,
и
…являются линейно-независимыми.
9.15. Проверьте, что множество функций вида (квадратные трехчлены) таких, что
, образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…
… ,
.
9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…
… векторы ,
,
.
9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор в вектор
, записанная в стандартном базисе
,
,
, имеет вид…
… .
9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе имеет вид…
… .
9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…
…вырожденной.
9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор
, а вектор
— в вектор
. Матрица этого оператора, записанная в базисе
,
, имеет вид…
… .
9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости , записанная в базисе
,
,
, имеет вид…
… .
9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе
,
,
, имеет вид…
… .
9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе ,
, имеет вид
. Этот оператор является…
…оператором симметрии относительно оси .
9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …
…является линейным пространством размерности 4.
9.25. Линейной комбинацией векторов и
является вектор…
… .
9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор
, а вектор
— в вектор
. Тогда вектор
переходит в вектор…
… .
9.27. Известно, что линейный оператор переводит вектор
в вектор
, а вектор
— в вектор
. Тогда вектор
переходит в вектор…
… .
9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …
…равна 6.