О сходимости интерполяционного процесса

Интерполяционная формула Ньютона

Эта формула позволяет выразить интерполяционный многочлен через значение функции в одном из узлов и разделенные разности функции , построенные по узлам . Она является разностным аналогом формулы Тейлора

Мы получили формулу (2.8) для разделенной разности -го порядка

. (2.10)

В общем случае

.

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

2.11)

Можно показать, что многочлен Ньютона , определяемый по формуле (2.11), совпадает с многочленом Лагранжа , определяемым по формуле (2.4).

Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена

,

удовлетворяющего условиям интерполирования

.

Интерполяционную формулу Ньютона удобно применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если число узлов интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.

Замечание. При выводе формулы (2.11) не предполагается, что узлы расположены в каком-то определенном порядке. Поэтому роль точки в формуле (2.11) может играть любая из точек . Соответствующее множество интерполяционных формул можно получить из (2.11) перенумерацией узлов. Например, тот же самый многочлен можно представить в виде

(2.12)

Формула (2.11) называется формулой интерполирования вперед, а формула (2.12) называется формулой интерполирования назад.

Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (2.5):

,

справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона. Можно доказать, что погрешность интерполирования можно представить через разделенную разность:

. (2.13)

Сопоставляя (2.5) и (2.13) , видим, что существует точка , для которой

= . (2.14)

Формула (2.14) устанавливает связь между разделенной разностью порядка и -й производной функции .

Оптимальный выбор узлов интерполирования

Величину , входящую в оценку (2.13), можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подобрать узлы , так, чтобы минимизировать величину

.

Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева:

, (2.15)

причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни многочлена (2.15), т.е. точки

, .

При этом

и оценка остаточного члена примет вид

, (2.16)

где .

О сходимости интерполяционного процесса

Возникает вопрос, будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования , если число узлов сетки неограниченно возрастает. Ответ, вообще говоря, отрицательный.

Сформулируем определение скорости сходимости интерполяционного процесса. Множество точек , таких, что

называется сеткой на отрезке и обозначается через . До сих пор предполагалось, что число узлов интерполяции фиксировано. Переходя к изучению сходимости, необходимо рассмотреть последовательность сеток с возрастающим числом узлов:

, , ..., , ...

Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда можно задать последовательность интерполяционных многочленов , построенных для функции по ее значениям в узлах сетки .

Говорят, что интерполяционный процесс для функции сходится в точке , если существует

.

Кроме поточечной сходимости рассматривается сходимость в различных нормах. Например, равномерная сходимость на отрезке означает, что

.

Свойство сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функций .

Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится. Так, последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции по равномерноотстоящим узлам на отрезке , не сходится к функции ни в одной точке отрезка , кроме точек .

С другой стороны, для заданной непрерывной функции можно добиться сходимости за счет выбора расположения узлов интерполяции. То есть, если непрерывна на , то найдется такая последовательность сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на .

Следует заметить, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кроме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочленами высокой степени. Вместо этого применяются кусочнополиномиальная интерполяция, которая будет рассмотрена ниже.